Základy matematiky/Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou nejčastěji řešíme pomocí tzv. nulových bodů.

Rovnice s absolutní hodnotou

Řešené příklady

Příklad 1:

$|x-2|+|2x-8|=5$

Řešení 1:

• Nejdříve si najdeme nulové body. Najdeme je tak, že vynulujeme absolutní hodnotu. V našem případě je okamžitě vidět, že nulové body jsou: {2; 4}. Nulové body nám rozdělí množinu reálných čísel (číselnou osu) na tři intervaly.
• Sestavíme tabulku:
  • Do jednotlivých výrazů v absolutní hodnotě postupně dosadíme čísla z každého intervalu a do odpovídající buňky tabulky zapíšeme jestli byl výsledek kladný nebo záporný.

	$(-\mathrm{\infty };2)$	$(2;4)$	$(4;\mathrm{\infty })$
$x-2$	$-$	$+$	$+$
$2x-8$	$-$	$-$	$+$

• Danou rovnici teď budeme řešit v jednotlivých intervalech:

• • $x\in (-\mathrm{\infty };2)$

$\begin{array}{ccc}-(x-2)-(2x-8)& =& 5\\ -3x+10& =& 5\\ -3x& =& -5\\ x& =& \frac{5}{3}\end{array}$

Platí, že $\frac{5}{3}\in (-\mathrm{\infty };2)$? Platí. Máme tedy jedno řešení.

• • $x\in (2;4)$

$\begin{array}{ccc}(x-2)-(2x-8)& =& 5\\ -x+6& =& 5\\ -x& =& -1\\ x& =& 1\end{array}$

Platí, že $1\in (2;4)$? Neplatí. Toto není řešení.

• • $x\in (4;\mathrm{\infty })$

$\begin{array}{ccc}(x-2)+(2x-8)& =& 5\\ 3x-10& =& 5\\ 3x& =& 15\\ x& =& 5\end{array}$

Platí, že $5\in (4;\mathrm{\infty })$? Platí. Toto je druhé řešení.

Řešení je tedy $x\in \{\frac{5}{3};5\}$