Matematická analýza/Zavedení pojmu limita funkce

Definice: Řekneme, že je funkce $f(x)$ spojitá v bodě $a\in ℝ$, pokud $\mathrm{\forall }(\epsilon >0)\in ℝ$ existuje takové číslo $(\delta >0)\in ℝ$, že $\mathrm{\forall }x:\mid x-a\mid <\delta$ je $\mid f(x)-f(a)\mid <\epsilon$.

Každá funkce, která vznikne pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání se nazývá elementární funkce. Každá elementární funkce je spojitá (na svém definičním oboru).

Vlastní limita

Definice: Nechť $a$ je hromadný bod definičního oboru. Pak řekneme, že funkce $f(x)$ má v bodě $a\in ℝ$ vlastní limitu

$\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$

tehdy, a jen tehdy když $\mathrm{\forall }(\epsilon >0)\in ℝ\mathrm{\exists }(\delta >0)\in ℝ$ že $\mathrm{\forall }x$ splňující podmínku $0<\mid x-a\mid <\delta$ platí $\mid f(x)-b\mid <\epsilon$.

Nevlastní limita

Definice: Nechť $a$ je hromadný bod definičního oboru. Pak řekneme, že funkce $f(x)$ má v bodě $a\in ℝ$ nevlastní limitu

$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$, resp. $\underset{x\to a}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$

tehdy, a jen tehdy když $\mathrm{\forall }M\in ℝ\mathrm{\exists }(\delta >0)\in ℝ$ že $\mathrm{\forall }x$ splňující podmínku $0<\mid x-a\mid <\delta$ platí $f(x)>M$, resp. $f(x)<M$.