Integrování/Základní integrály

Všechny zde uvedené integrály je dobré znát zpaměti, protože je budeme dále hojně využívat k louskání těch složitějších.

U neurčitého integrálu z principu nevíme, na jaké hodnotě "jsme v mínus nekonečnu začínali". Proto je ke každému neurčitému integrálu přičtena blíže neznámá integrační konstanta C.

Mějme na paměti, že integrál je lineární, tedy že:

$\int [f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x$

$\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x$ pro libovolné reálné číslo k

Jednoduché funkce

Když integrujeme nulovou funkci, získáme prostě tuto konstantu:

$\int 0\mathrm{d}x=c$

Integrací nenulové konstantní funkce získáme lineární funkci, úměrnou x.

$\int a\mathrm{d}x=ax+c$

Konstanta je vlastně x⁰ a jejím integrálem je x¹. Když si představíme, že plocha pod funkcí y=x je trojúhelník o ploše x²/2, nepřekvapí nás následující zobecnění. Pro přirozená $n$ platí uvedený vztah pro všechna $x$.

$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+c\text{ pro }x>0,n\in ℝ\text{ a }n\ne -1$.

Pokud je $n=-1$, získáme logaritmus absolutní hodnoty x:

$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+c\text{ pro }x\ne 0$

(Vzhledem k vlastnostem funkce ln lze tento vztah psát i ve formě:

$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |kx|\text{ pro }kx\ne 0$

Následující funkce, exponenciála, je sama sobě integrálem:

$\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^x+c$

Zobecnění pro různá $a$ (konstatní):

$\int a^x\mathrm{d}x=\int {\mathrm{e}}^{x\ln a}\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln (a)}+c\text{ pro }a>0,a\ne 1$

Goniometrické a cyklometrické funkce

$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+c$

$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+c$

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=-\mathrm{cotg}x+c\text{ pro }x\ne n\pi$, kde $n$ je celé číslo.

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\mathrm{tg}x+c\text{ pro }x\ne (2n+1)\frac{\pi }{2}$, kde $n$ je celé číslo.

Následující vztah je zejména užitečný:

$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{arctg}x+c_1=-\mathrm{arccotg}x+c_2$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+c_1=-\arccos x+c_2\text{ pro }-1<x<1$

$\int \frac{1}{1-x^2}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|+c,& \text{ pro }|x|\ne 1\\ \mathrm{argtgh}x+c,& \text{ pro }|x|<1\\ \mathrm{argcotgh}x+c& \text{ pro }|x|>1\end{array}$

Hyperbolické a hyperbolometrické funkce

$\int \sinh x\mathrm{d}x=\cosh x+c$

$\int \cosh x\mathrm{d}x=\sinh x+c$

$\int \frac{1}{{\sinh }^{2}x}\mathrm{d}x=-\mathrm{cotgh}x+c\text{ pro }x\ne 0$

$\int \frac{1}{{\cosh }^{2}x}\mathrm{d}x=\mathrm{tgh}x+c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})+c=\mathrm{argsinh}x+c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+c,& \text{ pro }|x|>1\\ \mathrm{argcosh}x+c,& \text{ pro }|x|<1\end{array}$

Příklady výpočtu

• /Řešené příklady/

Tak a to je všechno. Zbytek funkcí budeme muset na tyto funkce nějakým způsobem převést...