Integrování/Metoda Per Partes

Důležitou metodou při výpočtu integrálů je metoda per partes (česky „po částech“). Tato metoda pomáhá integrovat součiny dvou (a více) funkcí (na základě věty o derivaci součinu) a rozložit je na nový integrál, pro nás snadněji integrovatelný (při správném použití).

Formální zápis metody a důkaz

Pokud mají funkce $u=u(x)$ a $v=v(x)$ spojité derivace na intervalu $(a;b)$ (tedy jsou i samy spojité), pak na intervalu $(a;b)$ platí:

$\int u^{\prime }v\mathrm{d}x=uv-\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x$

$\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=uv-\int u^{\prime }v\mathrm{d}x$

Důkaz

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ (věta o derivaci součinu)

$\int (uv{)}^{\prime }\mathrm{d}x=\int u^{\prime }v\mathrm{d}x+\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x$

$uv=\int u^{\prime }v\mathrm{d}x+\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x$

$\int u^{\prime }v\mathrm{d}x=uv-\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x$ (záměnou $u\leftrightarrow v$ získáme i druhou podobu metody)

---

---