Hledání extrémů funkcí více proměnných

Na základě poznámek ze cvičení zpracoval Irigi

Algoritmy, které popíši fungují pro obecně n neznámých - ve všech textech ale budu psát pouze dvě souřadnice, i když napíšu, jak by se postupovalo pro souřadnic více.

Totální diferenciál

Totální diferenciál definuje limita

$\underset{(h_1,h_2)\to (0,0)}{lim}\frac{f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-\overrightarrow{\mathrm{d}f}(x,y)\cdot (h_1,h_2)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}(\mathrm{♣})$

Nutnou podmínkou pro existenci totálního diferenciálu je existence prvních parciálních derivací, pokud neexistují, zjevně neexistuje ani (♣). Pokud existují první parciální derivace, potom platí

$\overrightarrow{\mathrm{d}f}(x,y)\cdot (h_1,h_2)=\frac{\partial f}{\partial x}{h}_1+\frac{\partial f}{\partial y}{h}_2$

Postačující podmínkou je buďto spojitost prvních parciálních derivací, nebo existence (♣).

Příklad

Zjistěte zda a kde má funkce $(xy{)}^{1/3}$ totální diferenciál.

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x^{-2/3}{y}^{1/3}}{3}$

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y^{-2/3}{x}^{1/3}}{3}$

Je vidět, že derivace jsou mimo osy spojité, tudíž mimo osy existuje totální diferenciál. Na osách je funkční hodnota $(xy{)}^{1/3}=0$, ale první parciální derivace zde nejsou definovány (jsou v limitě nekonečné), proto na osách totální diferenciál není.

V počátku soustavy souřadnic jsou první parciální derivace nulové, protože

$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{0}{h}=0$

a obdobně pro derivaci podle y.

Proto pokud totální diferenciál existuje, pak má hodnotu

$\overrightarrow{df}(x,y)\cdot (h_1,h_2)=0$

Ověříme jeho existenci dosazením do (♣). Přejdeme k polárním souřadnicím:

$h_1=r\sin (\varphi )$

$h_2=r\cos (\varphi )$

Tedy dosadím do (♣):

$\underset{r\to 0}{lim}\frac{(h_1{h}_2{)}^{1/3}-0-0}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=\underset{r\to 0}{lim}\frac{(r\sin (\varphi )r\cos (\varphi ){)}^{1/3}}{r}$

Tato limita neexistuje (resp. závisí na úhlu φ), totální diferenciál tedy v počátku neexistuje.

Hledám-li extrém funkcí více proměnných $f(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n)$, prohledávám jednak „kandidáty“ na extrém a jednak hledám extrém na okraji, což je extrém s vazbou.

Lokální extrémy

1. Nutná podmínka pro to, aby funkce měla v bodě extrém je, aby první parciální derivace byly nulové (nebo aby v něm neexistovaly):

$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=0,$

2. V těchto bodech může nastat jedna ze tří možností - je zde minimum, maximum nebo sedlový bod. Označíme si členy v Hessově matici (Hesián):

$H=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right)$

Podle Taylorova rozvoje do druhého řádu (první derivace jsou nulové) nám zbývá plocha určená jako:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\mathrm{d}{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\mathrm{d}{y}^2=A\mathrm{d}{x}^2+2B\mathrm{d}x\mathrm{d}y+C\mathrm{d}{y}^2=K$

Pro více proměnných se rozšiřuje kvadriku ve smyslu Taylorova rozvoje. V diskusi nezapomeňte, že funkce musí být ve zkoumaných bodech spojitá, aby byly smíšené derivace záměnné!

• Je-li pro každé $(x,y)\ne (0,0)$ $K>0$, pak má funkce v tomto bodě lokální minimum (plocha je pozitivně definitní)
• Je-li pro každé $(x,y)\ne (0,0)$ $K\ge 0$, pak nadále nevíme (plocha je pozitivně semidefinitní)
• Je-li pro každé $(x,y)\ne (0,0)$ $K<0$, pak má funkce v tomto bodě lokální maximum (plocha je negativně definitní)
• Je-li pro každé $(x,y)\ne (0,0)$ $K\le 0$, pak nadále nevíme (plocha je negativně semidefinitní)
• Střídá-li pro každé $(x,y)\ne (0,0)$ $K$ znaménko pak jde o sedlový bod (plocha je indefinitní)

Abychom zjistili, do které z těchto skupin kvadrika patří, použijeme Sylvesterovo kritérium: vybereme z J subdeterminanty (zleva shora) o velikostech $1,2,\mathrm{...},n$. Pro případ dvou proměnných tedy $D_1=A$,$D_2=AC-B^2$. Pak:

• Jsou-li všechny $D_i$ kladné $(A>0,AC-B^2>0)$, pak je kvadrika pozitivně definitivní (lokální minimum).
• Jsou-li $D_i$ střídavě záporné a kladné ($A<0,AC-B^2>0$), pak je kvadrika negativně definitivní (lokální maximum).
• Ve všech ostatních případech nevíme.

Příklad

Hledejme extrémy $f=x^2+y^{3}x$. Z podmínky o nulových prvních derivací:

$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y^3=0,\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}x=0\Rightarrow x=0,y=0$

Nyní určíme z Taylorova rozvoje koeficienty A,B takto:

$A=2,B=3y^2=0,C=6yx=0\Rightarrow K=2\mathrm{d}{x}^2$

Sylvesterovo kritérium říká, že nevíme: $A>1,AC-B^2=0$. Z kvadriky je vidět, že kvadrika je pozitivně semidefinitní (nikde není záporná a pro hodnoty $(0,y)$ je nulová), proto nejsme schopni touto metodou extrém ověřit. (numericky: je to sedlo.)

Extrémy s vazbou

Máme hledat extrémy funkce $f(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n)$, kde zůstáváme na vazbách $g_1(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n),\mathrm{...},g_h(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n)$, kde $h<n$.

Můžeme použít dvě metody:

A. Vyjádříme co nejvíce proměnných z podmínek $g_i(\mathrm{...})$

B. Na zbylé podmínky použijeme Lagrangeovy multiplikátory.

Má-li funkce v bodě extrém s vazbou (pokud jsme vazbu ještě nevyloučili pomocí bodu A.), potom platí:

$\mathrm{\nabla }(f(\dots )-\sum {\lambda }_i{g}_i(\dots ))=0(\mathrm{♠})$

Nyní potřebuji vyjádřit ${\lambda }_1,\mathrm{...},{\lambda }_h$, čehož dosáhnu:

α. Vyjádřením $x,y,\mathrm{...}$ podle ${\lambda }_i$ z (♠) a dosazením do $g_i(\mathrm{...})=0$.

β. Využitím diferenciálních vztahů pro $g_i(\mathrm{...})$ snížím počet nutných diferenciálů ve výsledné kvadrice (to je nutné pro správnost výsledku! - kvadrika musí mít stejný počet diferenciálů jako je stupňů volnosti na kterých se s řešením pohybujeme!):

α.

Teď známe ${\lambda }_i$ a $x,y,\mathrm{...}$, tedy máme všechny „kandidáty na extrém“. Nyní se chceme opět přesvědčit, zda extrém je minimum, maximum, nebo není vůbec. To určíme tak, že rozepíšeme totální diferenciál druhého řádu funkce $F=f-{\lambda }_i{g}_i$

${\mathrm{d}}^{2}F=\frac{{\partial }^2(f-\sum {\lambda }_i{g}_i)}{\partial x^2}\mathrm{d}{x}^2+2\frac{{\partial }^2(f-\sum {\lambda }_i{g}_i)}{\partial x\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\frac{{\partial }^2(f-\sum {\lambda }_i{g}_i)}{\partial y^2}\mathrm{d}{y}^2$

Do těchto vztahů dosadíme za ${\lambda }_i$ a $x,y,\mathrm{...}$ (které známe). Získáme tedy kvadratickou plochu, pro jejíž pozitivní/negativní definitnost použijeme výše zmíněné Sylvesterovo kritérium. Tím jsme problém vyřešili.

β.

$\mathrm{d}{g}_i=\frac{\partial g_i}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial g_i}{\partial y}\mathrm{d}y+\dots =0$

(Z těchto rovnic vyjádříme h diferenciálů, čímž zjednodušíme problém určení definitnosti kvadriky -- toto je pouze zjednodušující trik, není pro zbytek postupu nutný)

Příklad

Podívejme se na naši známou fci $f=x^2+y^{3}x$ s jednou vazbou $g=x^2+y^2-1=0$. Použijeme podmínku (♠):

$\mathrm{\nabla }f(\dots )=\lambda \mathrm{\nabla }g(\dots )$

$(2x+y^3,3y^{2}x)=\lambda (2x,2y)$

Vyjádřit x,y jde - vyjde bod (0,0) a čtyři body (z nichž 2 jsou komplexní a vyloučíme je) v závislosti na λ.

$x=0,y=0,$

$x=\frac{\mathrm{i}\sqrt{2}{({\lambda }^2-\lambda )}^{\frac{3}{4}}}{3^{3/4}(1-\lambda )},y=\frac{\mathrm{i}\sqrt{2}\sqrt[4]{{\lambda }^2-\lambda }}{\sqrt[4]{3}}$

$x=\frac{\sqrt{2}{({\lambda }^2-\lambda )}^{3/4}}{3^{3/4}(1-\lambda )},y=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{{\lambda }^2-\lambda }}\sqrt[4]{3}$

$x=\frac{\mathrm{i}\sqrt{2}{{\lambda }^2-\lambda )}^{3/4}}{3^{3/4}(\lambda -1)},y=-\frac{\mathrm{i}\sqrt{2}\sqrt[4]{{\lambda }^2-\lambda }}{\sqrt[4]{3}}$

$x=\frac{\sqrt{2}{({\lambda }^2-\lambda )}^{3/4}}{3^{3/4}(\lambda -1)},y=\frac{\sqrt{2}\sqrt[4]{{\lambda }^2-\lambda }}{\sqrt[4]{3}}$

$\lambda =\frac{1}{8}(4-\frac{13}{\sqrt[3]{62-3\sqrt{183}}}-\sqrt[3]{62-3\sqrt{183}})$

$\lambda =\frac{1}{2}+\frac{13(1+\mathrm{i}\sqrt{3})}{16\sqrt[3]{62-3\sqrt{183}}}+\frac{1}{16}(1-\mathrm{i}\sqrt{3})\sqrt[3]{62-3\sqrt{183}}$

$\lambda =\frac{1}{2}+\frac{13(1-\sqrt{3})}{16\sqrt[3]{62-3\sqrt{183}}}+\frac{1}{16}(1+\sqrt{3})\sqrt[3]{62-3\sqrt{183}}$

Reálné řešení vyjde jen pro reálné (první) λ. Dva body řešení lze zapsat jako

$(x,y)=(\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(16x^6-24x^4+13x^2-1,2),\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(16x^6-24x^4+13x^2-4,2))\approx (0.302339,0.953201),$

kde funkce $\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(P(x),n)$ dává n-tý kořen polynomu P(x) pro reálné kořeny řazeny vzestupně.

Z numerického řešení už je vidět, který z těchto dvou bodů je minimum a který maximum, abych předvedl metodu, ukážu ještě určení z druhého diferenciálu pro řešení 2 - minimum.

Použijeme bodu 2.

$2x\mathrm{d}x+2y\mathrm{d}y=0\Rightarrow \mathrm{d}y=-\frac{2x}{2y}\mathrm{d}x$

Zároveň ze druhé složky rovnice z (♠) víme, že

$3y^{2}x=2y\lambda \Rightarrow y=\frac{2\lambda }{3x}$.

Tedy dosadíme do:

${\mathrm{d}}^{2}F=A\mathrm{d}{x}^2+2B\mathrm{d}x\mathrm{d}y+C\mathrm{d}{y}^2$

$A=\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(16x^3-48x^2+9x-8,1)\approx +2.86457$

$\frac{B}{3}=\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(16x^3-24x^2+13x-4,1)\approx +0.908591$

$C=\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(16x^3-48x^2+9x+54,1)\approx -0.864568$

Aplikujeme-li převodní vztah pro diferenciál dy:

${\mathrm{d}}^{2}F=(A-2\frac{x}{y}B+\frac{x^2}{y^2}C)=\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(2x^3+3x^2-244,1)\mathrm{d}{x}^2\approx 4.50672>0$

Jde tedy skutečně o minimum.

Původní verze článku

původní verze článku