Geometrie/Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Algebraické řešení

Mějme dvě přímky v rovině dané směrnicovými rovnicemi

y = k_{1} x + q_{1}

y = k_{2} x + q_{2}

popř. obecnými rovnicemi

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

Dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné, pokud mají stejné směrnice. Jsou-li tedy dvě přímky zadány směrnicovými rovnicemi, pak podmínka rovnoběžnosti má tvar

k_{1} = k_{2}

Jsou-li přímky zadány obecnými rovnicemi, pak podmínku rovnoběžnosti lze vyjádřit pomocí determinantu jako

| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0

Přímky zadané rovnicemi směrnicovými rovnicemi jsou kolmé, pokud jejich směrnice splňují podmínku $k_{1} k_{2} + 1 = 0$ , kterou obvykle zapisujeme jako

k_{1} = - \frac{1}{k_{2}}

Rovnice zadané v obecném tvaru jsou kolmé pokud splňují podmínku

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0

Průsečík dvou přímek zadaných směrnicovými rovnicemi získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

x_{P} = \frac{q_{1} - q_{2}}{k_{2} - k_{1}}

y_{P} = \frac{q_{1} k_{2} - q_{2} k_{1}}{k_{2} - k_{1}}

Podobně pro průsečík přímek zadaných obecnými rovnicemi dostaneme

x_{P} = \frac{| \begin{matrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |}

y_{P} = \frac{| \begin{matrix} c_{1} & a_{1} \\ c_{2} & a_{2} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |}

Z předchozích vztahů je vidět, že pokud je splněna podmínka rovnoběžnosti, tak přímky jsou rovnoběžné a nemají tedy průsečík.

Odchylka $φ$ dvou různoběžných přímek zadaných směrnicovými rovnicemi je pro $k_{1} k_{2} \neq - 1$ dána vztahem

tg φ = | \frac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1} k_{2}} |

Jsou-li rovnice zadány obecnými rovnicemi, pak pro odchylku dostáváme

tg φ = | \frac{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}} |

pro $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \neq 0$ .

V prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Poloha přímek v rovině je speciálním případem polohy přímek v prostoru.

Algebraické řešení

Dvě přímky zadané obecnými rovnicemi tvoří soustavu

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0

a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z + d_{3} = 0

a_{4} x + b_{4} y + c_{4} z + d_{4} = 0

Tyto dvě přímky se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí

| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | = 0

Máme-li dvě přímky vyjádřené vztahy

y = m_{1} x + q_{1}

z = n_{1} x + r_{1}

y = m_{2} x + q_{2}

z = n_{2} x + r_{2}

Pak podmínku, aby se tyto přímky proťaly lze zapsat

\frac{q_{1} - q_{2}}{r_{1} - r_{2}} = \frac{m_{1} - m_{2}}{n_{1} - n_{2}}

Pro souřadnice průsečíku pak platí

x_{P} = \frac{q_{2} - q_{1}}{m_{1} - m_{2}} = \frac{r_{2} - r_{1}}{n_{1} - n_{2}}

y_{P} = \frac{m_{1} q_{2} - m_{2} q_{1}}{m_{1} - m_{2}}

z_{P} = \frac{n_{1} r_{2} - n_{2} r_{1}}{n_{1} - n_{2}}

Pokud se takové přímky protínají, pak jejich odchylku $φ$ určíme jako

\cos φ = \frac{| 1 + m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} |}{\sqrt{(1 + m_{1}^{2} + n_{1}^{2}) (1 + m_{2}^{2} + n_{2}^{2})}}

Podmínku rovnoběžnosti přímek lze pak vyjádřit jednoduchými vztahy $m_{1} = m_{2}$ a $n_{1} = n_{2}$ . Přímky jsou kolmé, je-li splněna podmínka $1 + m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} = 0$ .

Mějme přímky vyjádřeny rovnicemi

\frac{x - x_{1}}{\cos α_{1}} = \frac{y - y_{1}}{\cos β_{1}} = \frac{z - z_{1}}{\cos γ_{1}}

\frac{x - x_{2}}{\cos α_{2}} = \frac{y - y_{2}}{\cos β_{2}} = \frac{z - z_{2}}{\cos γ_{2}}

Odchylka těchto přímek se určí jako

\cos φ = \cos α_{1} \cos α_{2} + \cos β_{1} \cos β_{2} + \cos γ_{1} \cos γ_{2}

Podmínku rovnoběžnosti takovýchto přímek lze zapsat rovnicemi $\cos α_{1} = \cos α_{2}, \cos β_{1} = \cos β_{2}, \cos γ_{1} = \cos γ_{2}$ . Podmínku kolmosti lze vyjádřit jako $\cos α_{1} \cos α_{2} + \cos β_{1} \cos β_{2} + \cos γ_{1} \cos γ_{2} = 0$ .

Vzdálenost $δ$ dvou mimoběžných přímek udává vztah

δ = | \frac{| \begin{matrix} x_{1} - x_{2} & y_{1} - y_{2} & z_{1} - z_{2} \\ \cos α_{1} & \cos β_{1} & \cos γ_{1} \\ \cos α_{2} & \cos β_{2} & \cos γ_{2} \end{matrix} |}{\sqrt{{| \begin{matrix} \cos β_{1} & \cos γ_{1} \\ \cos β_{2} & \cos γ_{2} \end{matrix} |}^{2} + {| \begin{matrix} \cos γ_{1} & \cos α_{1} \\ \cos γ_{2} & \cos α_{2} \end{matrix} |}^{2} + {| \begin{matrix} \cos α_{1} & \cos β_{1} \\ \cos α_{2} & \cos β_{2} \end{matrix} |}^{2}}} |

Související články

Externí odkazy

Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi

Geometrie/Vzájemná poloha dvou přímek

Obsah

V rovině

Algebraické řešení

V prostoru

Algebraické řešení

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Geometrie/Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Algebraické řešení

V prostoru

Algebraické řešení

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Hledat