Geometrie/Soustavy souřadnic/Válcová soustava souřadnic

Válcová soustava souřadnic (cylindrická soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od osy z, druhá souřadnice (označovaná $\phi$) udává úhel průmětu průvodiče bodu do roviny $xy$ od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji $x$) a třetí souřadnice (označovaná $z$) polohu bodu na ose z.

Bod ve válcové soustavě souřadnic.

Válcová soustava souřadnic je vhodná pro řešení problémů s válcovou symetrií. Takové mají zpravidla ve válcových souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Transformace válcových souřadnic na kartézské:

$x=r\cos \phi ,$

$y=r\sin \phi ,$

$z=z.$

Převod kartézských souřadnic na válcové:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\phi =\mathrm{arctg2}(y,x)$

$z=z,$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens.

Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\phi }^2+\mathrm{d}{z}^2,$

tedy délka křivky obecně jako

${\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2+r^2{\left(\frac{\mathrm{d}\phi (t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\mathrm{d}t,$

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od $t_1$ do $t_2$.

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

$\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}z,$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

${{\mathrm{\Gamma }}^r}_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -r& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$

${{\mathrm{\Gamma }}^{\phi }}_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{r}& 0\\ \frac{1}{r}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$

${{\mathrm{\Gamma }}^z}_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$

kde indexy i,j probíhají přes hodnoty $(r,\phi ,z)$ v tomto pořadí.

Diferenciální operátory ve válcových souřadnicích

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}\widehat{𝒓}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi }\widehat{𝝋}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝒛}$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{r}\frac{\partial \left(r{A}_r\right)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \phi }-\frac{\partial A_{\phi }}{\partial z})\widehat{𝒓}+(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r})\widehat{𝝋}+\frac{1}{r}(\frac{\partial \left(r{A}_{\phi }\right)}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \phi })\widehat{𝒛}$

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

$\mathrm{\Delta }𝐀=(\mathrm{\Delta }{A}_r-\frac{A_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi })\widehat{𝒓}+(\mathrm{\Delta }{A}_{\phi }-\frac{A_{\phi }}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \phi })\widehat{𝝋}+\left(\mathrm{\Delta }{A}_z\right)\widehat{𝒛}$