Geometrie/Racionální B–spline křivka

Racionální B-spline křivky

Racionální B-spline křivka stupně $k$ je určena rovnicí:

$P\left(u\right)=\frac{\sum _{i=0}^n{P}_i\cdot {\omega }_i\cdot N_i^k\left(u\right)}{\sum _{i=0}^n{\omega }_i\cdot N_i^k\left(u\right)}$,

kde

$P_i$ jsou body řídícího polygonu (tzv. de Boor body),

${\omega }_i$ jsou váhové parametry jednotlivých bodů ${\omega }_i\ge 0$,

$N_i^k\left(u\right)$ jsou normalizované B-spline bázové funkce stupně $k$.

Rovnici racionální B-spline křivky můžeme upravit na tvar:

$P\left(u\right)=\sum _{i=0}^n{P}_i\cdot R_i^k\left(u\right)$,

kde

$R_i^k\left(u\right)$ jsou racionální B-spline bázové funkce definované:

$R_i^k\left(u\right)=\frac{{\omega }_i\cdot N_i^k\left(u\right)}{\sum _{j=0}^n{\omega }_j\cdot N_j^k\left(u\right)}$

Racionální B-spline křivky jsou obvykle definovány na neuniformním uzlovém vektoru $U=(u_0,\dots ,u_m)$. Takovým křivkám pak říkáme NURBS křivky (non uniform rational B-spline). Je-li tento vektor neperiodický, pak pro něj platí stejná pravidla jako pro neracionální B-spline křivky.

Analytické vlastnosti racionálních bázových funkcí

Pro racionální bázové funkce $R_i^k\left(u\right)$ platí podobné analytické vlastnosti jak pro bázové funkce $N_i^k\left(u\right)$.

Nezáporná hodnota

$R_i^k\left(u\right)\ge 0$ pro $\mathrm{\forall }u\in ⟨u_0,u_m⟩$

Jednotkový součet

$\sum _{i=0}^n{R}_i^k\left(u\right)=1$ pro $u\in ⟨u_0,u_m⟩$

Vlastnost krajních funkcí

$R_0^k\left(0\right)=R_n^k\left(1\right)=1$

Extrémy

Každá bázová funkce $R_i^k\left(u\right)$ má pro každé $i$ na intervalu $⟨0,1⟩$ právě jedno maximum.

Lokální vlastnost

$R_i^k\left(u\right)\ne 0$ pro $u\in ⟨u_i,u_{i+k+1}⟩$

Zobecnění

Funkce $R_i^k\left(u\right)$ jsou zobecněním funkcí $N_i^k\left(u\right)$, pro $i=0,\dots ,n$ a $\omega =1$ platí

$R_i^k\left(u\right)=N_i^k\left(u\right)$

Pro uzlové vektory a váhy platí:

$U=(0,0,0,1,2,3,3,3)({\omega }_0,\dots ,{\omega }_4)=(1,4,1,1,1)$ pro obrázek vlevo

$U=(0,0,0,1,2,3,3,3)({\omega }_0,\dots ,{\omega }_4)=(1,1,0.3,1,1)$ pro obrázek vpravo

Geometrické vlastnosti racionálních B-spline křivek

Geometrické vlastnosti pro racionální B-spline křivky jsou zobecněním vlastností neracionálních B-spline křivek.

Koncové podmínky

Pokud uvažujeme neperiodický uzlový vektor ve tvaru

$U=(\underset{k+1}{\underbrace{0,\dots ,0}},u_{k+1},\dots ,u_{m-k-1},\underset{k+1}{\underbrace{1,\dots ,1}})$,

pak platí, že racionální B-spline křivka stupně $k$ prochází počátečním a koncovým bodem řídícího polygonu a dotýká se v těchto bodech jeho první a poslední hrany.

Mezi počtem uzlů $m$, stupněm křivky $k$ a počtem bodů řídícího polygonu křivky $(n+1)$ platí následující vztah:

$m=n+k+1$

Konvexní obal

Jsou-li všechny váhové parametry nezáporné, pak pro $u\in ⟨u_i,u_{i+1}⟩,k\le i\le (m-k-1)$ leží bod $P\left(u\right)$ v konvexním obalu množiny, která je určena body $P_{i-k},\dots ,P_i$.

Invariance vůči transformacím

Racionální B-spline křivky jsou invariantní vůči afinním transformacím, NURBS křivky jsou také invariantní vůči projektivnímu promítání.

Průsečík přímky (ve 2D) nebo roviny (ve 3D) s křivkou

Žádná přímka (rovina) nemá více průsečíků s křivkou než s jejím řídícím polygonem.

De Boor algoritmus

Viz [[../Racionální algoritmus de Boor|Racionální algoritmus de Boor]]

Modifikace tvaru křivky pomocí váhových parametrů

Obdobně jako u racionálních Bézierových křivek můžeme využít změny hodnot váhových parametrů $k$ modifikaci křivky bez potřeby měnit polohu bodů řídícího polygonu. Zvětšujeme-li hodnotu váhového parametru ${\omega }_i$ a ostatní váhové parametry zůstanou beze změny, křivka se více "přimyká" k odpovídajícímu bodu $P_i$, ovšem vliv změny na tvar křivky je omezen pouze pro $u\in ⟨u_i,u_{i+k+1}⟩$, ostatní části zůstanou beze změny.

Vyjádření kružnice pomocí racionální B-spline křivky

Jak bylo řečeno v úvodu, některé kuželosečky, jako jsou elipsa nebo hyperbola, je možné pomocí neracionálních křivek popsat pouze přibližně, proto byly zavedeny křivky racionální. V tomto příkladě ukážeme, jak popsat kružnici pomocí racionální B-spline křivky.

Vektorová rovnice pro kružnici, která je určena sedmi vrcholy řídícího polygonu, je následující:

$P\left(u\right)=\frac{\sum _{i=0}^6{\omega }_i\cdot P_i\cdot N_i^2\left(u\right)}{\sum _{i=0}^6{\omega }_i\cdot N_i^2\left(u\right)}=\sum _{i=0}^6{P}_i\cdot R_i^2\left(u\right)$,

kde

uzlový vektor je $U=(0,0,0,\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},1,1,1)$

a váhový vektor je $({\omega }_0,\dots ,{\omega }_6)=(1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1)$.

Vektorová rovnice pro kružnici, která je určena devíti vrcholy řídícího polygonu, je:

$P\left(u\right)=\frac{\sum _{i=0}^8{\omega }_i\cdot P_i\cdot N_i^2\left(u\right)}{\sum _{i=0}^8{\omega }_i\cdot N_i^2\left(u\right)}=\sum _{i=0}^8{P}_i\cdot R_i^2\left(u\right)$,

kde

uzlový vektor je $U=(0,0,0,\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{4},1,1,1)$

a váhový vektor je $({\omega }_0,\dots ,{\omega }_8)=(1,\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{2}}{2},1)$.

Algoritmizace

ComputeKnotVector(int n, int k)

Spočítá uzlový vektor.

Parametry:

• n - počet kontrolních bodů mínus 1
• k - stupeň de Boor bázové funkce

BasisFunction(int k, int i, ParameterCollection u, double t)

Spočítá a vrátí hodnotu normalizované bázové funkce stupňe k.

Parametry:

• k - stupeň de Boor bázové funkce
• i - index polohového vektoru vrcholu řídícího polygonu
• u - uzlový vektor
• t - parametr

Vector GetPoint(double t)

Přetížená metoda třídy Curve. Spočítá a vrátí bod na křivce.

Parametry:

• t - parametr výpočtu

RichPoint CreateRichPoint()

Přetížená metoda třídy Curve. Spočítá a vrátí řídící bod pro křivku s váhovým koeficientem. RacionalRichPoint je jako RichPoint, ale počítá s váhou bodu.