Geometrie/Numerický výpočet průniku dvou kružnic

Chceme vypočítat průsečíky C dvou kružnic, z nichž ani jedna neleží uvnitř druhé. Máme dány jejich středy [A_x, A_y], [B_x, B_y] a poloměry A_r a B_r.

V obecném případě jsou tyto průsečíky 2. Budeme hledat jen jeden, jménem C. Druhý je osově převrácený okolo spojnice středů a snadno se nalezne.

Spočítáme vzdálenost středů:

$d = \sqrt{(A_{x} - B_{x})^{2} + (A_{y} - B_{y})^{2}}$

Představíme si, že středy kružnic jsou dvěma body trojúhelníka a hledaný průsečík třetím. Potom jsou vzdálenosti d, A_r a B_r délkami stran.

Rozdělíme bodem S úsečku d na části m a n (takže m + n = d), abychom získali dva pravoúhlé trojúhelníky ACS a BCS. Tyto trojúhelníky mají společnou výšku v = |SC|. Potom platí:

$A_{r}^{2} = v^{2} + m^{2}$

a

$B_{r}^{2} = v^{2} + n^{2},$

tudíž

$A_{r}^{2} - B_{r}^{2} = m^{2} - n^{2} = (m + n) * (m - n) = d * (m - n) .$

Známe tedy rozdíl m a n:

$(A_{r}^{2} - B_{r}^{2}) / d = m - n = 2 m - d,$

pročež

$m = (A_{r}^{2} - B_{r}^{2}) / 2 d + d / 2.$

Spočítáme výšku trojúhelníka v bodě C s využitím Pythagorovy věty.

$v = \sqrt{A_{r}^{2} - m^{2}}$

Lineárně interpolujeme vzdálenost mezi středy a získáváme souřadnice bodu S (uprostřed průsečíků!):

$S_{x} = A_{x} + (m / d) (B_{x} - A_{x})$

a $S_{y} = A_{y} + (m / d) (B_{y} - A_{y})$

Závěrem (pomocí jednoduchého triku se záměnou souřadnic z X a Y) přičteme/odečteme úsečku SC o délce v, kolmou na AB:

$C_{x 1, 2} = S_{x} \mp (v / d) (A_{y} - B_{y})$

a $C_{y 1, 2} = S_{y} \pm (v / d) (A_{x} - B_{x})$

A získáváme souřadnice obou bodů.

Geometrie/Numerický výpočet průniku dvou kružnic

Navigační menu

Hledat