Geometrie/Vzájemná poloha dvou přímek

Rovnoběžky p₁ a p₂.

Různoběžky p₁ a p₂ s průsečíkem P.

Mimoběžky p₁ a p₂.

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Algebraické řešení

Mějme dvě přímky v rovině dané směrnicovými rovnicemi

$y=k_{1}x+q_1$

$y=k_{2}x+q_2$

popř. obecnými rovnicemi

$a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$

$a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$

Dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné, pokud mají stejné směrnice. Jsou-li tedy dvě přímky zadány směrnicovými rovnicemi, pak podmínka rovnoběžnosti má tvar

$k_1=k_2$

Jsou-li přímky zadány obecnými rovnicemi, pak podmínku rovnoběžnosti lze vyjádřit pomocí determinantu jako

$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$

Přímky zadané rovnicemi směrnicovými rovnicemi jsou kolmé, pokud jejich směrnice splňují podmínku $k_1{k}_2+1=0$, kterou obvykle zapisujeme jako

$k_1=-\frac{1}{k_2}$

Rovnice zadané v obecném tvaru jsou kolmé pokud splňují podmínku

$a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$

Průsečík dvou přímek zadaných směrnicovými rovnicemi získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

$x_P=\frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}$

$y_P=\frac{q_1{k}_2-q_2{k}_1}{k_2-k_1}$

Podobně pro průsečík přímek zadaných obecnými rovnicemi dostaneme

$x_P=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|}$

$y_P=\frac{\left|\begin{array}{cc}{c}_1& a_1\\ c_2& a_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|}$

Z předchozích vztahů je vidět, že pokud je splněna podmínka rovnoběžnosti, tak přímky jsou rovnoběžné a nemají tedy průsečík.

Odchylka $\phi$ dvou různoběžných přímek zadaných směrnicovými rovnicemi je pro $k_1{k}_2\ne -1$ dána vztahem

$\mathrm{tg}\phi =\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}\right|$

Jsou-li rovnice zadány obecnými rovnicemi, pak pro odchylku dostáváme

$\mathrm{tg}\phi =\left|\frac{a_1{b}_2-a_2{b}_1}{a_1{a}_2+b_1{b}_2}\right|$

pro $a_1{a}_2+b_1{b}_2\ne 0$.

V prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Poloha přímek v rovině je speciálním případem polohy přímek v prostoru.

Algebraické řešení

Dvě přímky zadané obecnými rovnicemi tvoří soustavu

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0$

$a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_3=0$

$a_{4}x+b_{4}y+c_{4}z+d_4=0$

Tyto dvě přímky se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& c_1& d_1\\ a_2& b_2& c_2& d_2\\ a_3& b_3& c_3& d_3\\ a_4& b_4& c_4& d_4\end{array}\right|=0$

Máme-li dvě přímky vyjádřené vztahy

$y=m_{1}x+q_1$

$z=n_{1}x+r_1$

$y=m_{2}x+q_2$

$z=n_{2}x+r_2$

Pak podmínku, aby se tyto přímky proťaly lze zapsat

$\frac{q_1-q_2}{r_1-r_2}=\frac{m_1-m_2}{n_1-n_2}$

Pro souřadnice průsečíku pak platí

$x_P=\frac{q_2-q_1}{m_1-m_2}=\frac{r_2-r_1}{n_1-n_2}$

$y_P=\frac{m_1{q}_2-m_2{q}_1}{m_1-m_2}$

$z_P=\frac{n_1{r}_2-n_2{r}_1}{n_1-n_2}$

Pokud se takové přímky protínají, pak jejich odchylku $\phi$ určíme jako

$\cos \phi =\frac{|1+m_1{m}_2+n_1{n}_2|}{\sqrt{(1+m_1^2+n_1^2)(1+m_2^2+n_2^2)}}$

Podmínku rovnoběžnosti přímek lze pak vyjádřit jednoduchými vztahy $m_1=m_2$ a $n_1=n_2$. Přímky jsou kolmé, je-li splněna podmínka $1+m_1{m}_2+n_1{n}_2=0$.

Mějme přímky vyjádřeny rovnicemi

$\frac{x-x_1}{\cos {\alpha }_1}=\frac{y-y_1}{\cos {\beta }_1}=\frac{z-z_1}{\cos {\gamma }_1}$

$\frac{x-x_2}{\cos {\alpha }_2}=\frac{y-y_2}{\cos {\beta }_2}=\frac{z-z_2}{\cos {\gamma }_2}$

Odchylka těchto přímek se určí jako

$\cos \phi =\cos {\alpha }_1\cos {\alpha }_2+\cos {\beta }_1\cos {\beta }_2+\cos {\gamma }_1\cos {\gamma }_2$

Podmínku rovnoběžnosti takovýchto přímek lze zapsat rovnicemi $\cos {\alpha }_1=\cos {\alpha }_2,\cos {\beta }_1=\cos {\beta }_2,\cos {\gamma }_1=\cos {\gamma }_2$. Podmínku kolmosti lze vyjádřit jako $\cos {\alpha }_1\cos {\alpha }_2+\cos {\beta }_1\cos {\beta }_2+\cos {\gamma }_1\cos {\gamma }_2=0$.

Vzdálenost $\delta$ dvou mimoběžných přímek udává vztah

$\delta =\left|\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_1-x_2& y_1-y_2& z_1-z_2\\ \cos {\alpha }_1& \cos {\beta }_1& \cos {\gamma }_1\\ \cos {\alpha }_2& \cos {\beta }_2& \cos {\gamma }_2\end{array}\right|}{\sqrt{{\left|\begin{array}{cc}\cos {\beta }_1& \cos {\gamma }_1\\ \cos {\beta }_2& \cos {\gamma }_2\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}\cos {\gamma }_1& \cos {\alpha }_1\\ \cos {\gamma }_2& \cos {\alpha }_2\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}\cos {\alpha }_1& \cos {\beta }_1\\ \cos {\alpha }_2& \cos {\beta }_2\end{array}\right|}^2}}\right|$

Související články

• Přímka
• Geometrie/Vzájemná poloha bodu a přímky

Externí odkazy

Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi