Zobrazení zdroje stránky Základy matematiky/Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou nejčastěji řešíme pomocí tzv. nulových bodů.

== Rovnice s absolutní hodnotou ==

=== Řešené příklady ===
'''Příklad 1''':
:<math>|x-2|+|2x-8|=5</math>
'''Řešení 1''':
* Nejdříve si najdeme nulové body. Najdeme je tak, že vynulujeme absolutní hodnotu. V našem případě je okamžitě vidět, že nulové body jsou: {2; 4}. Nulové body nám rozdělí množinu reálných čísel (číselnou osu) na tři intervaly.
* Sestavíme tabulku:
** Do jednotlivých výrazů v absolutní hodnotě postupně dosadíme čísla z každého intervalu a do odpovídající buňky tabulky zapíšeme jestli byl výsledek kladný nebo záporný.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
!
! <math>(-\infty;2)</math>
! <math>\big(2;4\big)</math>
! <math>(4;\infty)</math>
|-
! <math>x-2</math>
| <math>-</math>
| <math>+</math>
| <math>+</math> 
|-
! <math>2x-8</math>
| <math>-</math>
| <math>-</math>
| <math>+</math>
|}
* Danou rovnici teď budeme řešit v jednotlivých intervalech:

** <math>x\in(-\infty;2)</math>
:<math>\begin{array}{rcr}
  -(x-2)-(2x-8)  & = &  5 \\
  -3x+10         & = &  5 \\
  -3x            & = & -5 \\
  x              & = & \frac53
\end{array}</math>
: Platí, že <math>\frac53\in(-\infty;2)</math>? Platí. Máme tedy jedno řešení.
** <math>x\in(2;4)</math>
: <math>\begin{array}{rcr}
(x-2)-(2x-8) & = &5\\
-x+6      & = &  5\\
-x  &  =  & -1\\
x    & =  & 1
\end{array}</math>
: Platí, že <math>1\in(2;4)</math>? Neplatí. Toto není řešení.
** <math>x\in(4;\infty)</math>
: <math>\begin{array}{rcr}
(x-2)+(2x-8) & = & 5\\
3x-10  & = & 5\\
3x & = & 15\\
 x  & =  & 5
\end{array}</math>
: Platí, že <math>5\in(4;\infty)</math>? Platí. Toto je druhé řešení.

: Řešení je tedy <math>x\in\left\{\frac53;5\right\}</math>

[[Kategorie:Základy matematiky|{{#titleparts:{{PAGENAME}}||2}}]]