Zobrazení zdroje stránky Integrování/Základní integrály

Všechny zde uvedené integrály je dobré znát zpaměti, protože je budeme dále hojně využívat k louskání těch složitějších.

U neurčitého integrálu z principu nevíme, na jaké hodnotě "jsme v mínus nekonečnu začínali". Proto je ke každému neurčitému integrálu přičtena blíže neznámá '''integrační konstanta C'''.

Mějme na paměti, že integrál je lineární, tedy že:

:<math>\int [f(x) \pm g(x)] \, \mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int g(x)\,\mathrm{d}x</math>
:<math>\int k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k \int f(x)\,\mathrm{d}x</math> pro libovolné [[reálné číslo]] ''k''

== Jednoduché funkce ==
Když integrujeme nulovou funkci, získáme prostě tuto konstantu:

:<math>\int {0} \,\mathrm{d}x = c </math>

Integrací nenulové konstantní funkce získáme lineární funkci, úměrnou x.

:<math>\int {a} \,\mathrm{d}x = ax + c </math>

Konstanta je vlastně x<sup>0</sup> a jejím integrálem je x<sup>1</sup>. Když si představíme, že plocha pod funkcí y=x je trojúhelník o ploše x<sup>2</sup>/2, nepřekvapí nás následující zobecnění. Pro [[w:přirozené číslo|přirozená]] <math>n</math> platí uvedený vztah pro všechna <math>x</math>.

:<math>\int {x^n} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \mbox{ pro } x>0, n \in \mathbb{R} \mbox{ a } n \ne -1</math>.

Pokud je <math>n = -1</math>, získáme logaritmus absolutní hodnoty x:

:<math>\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |x| + c \mbox{ pro } x\ne 0</math>

:(Vzhledem k vlastnostem funkce ln lze tento vztah psát i ve formě:
::<math>\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |kx| \mbox{ pro } kx\ne 0</math>

Následující funkce, exponenciála, je sama sobě integrálem:

:<math>\int {\mathrm{e}^x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^x + c</math>

Zobecnění pro různá <math>a</math> (konstatní):

:<math>\int {a^x} \,\mathrm{d}x = \int {\mathrm{e}^{x \ln a}} \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln(a)} \ + c \mbox{ pro } a>0, a\ne 1</math>

== Goniometrické a cyklometrické funkce ==
:<math>\int {\sin x} \,\mathrm{d}x = - \cos x + c</math>
:<math>\int {\cos x} \,\mathrm{d}x = \sin x + c</math>
:<math>\int {\frac{1}{\sin^2 x}} \,\mathrm{d}x = -\operatorname{cotg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne n\pi</math>, kde <math>n</math> je [[celé číslo]].
:<math>\int {\frac{1}{\cos^2 x}} \,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne (2n+1)\frac{\pi}{2}</math>, kde <math>n</math> je [[celé číslo]].

Následující vztah je zejména užitečný:

:<math>\int \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \operatorname{arctg}x + c_1 = - \operatorname{arccotg}x + c_2</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \mathrm{d}x = \operatorname{arcsin}x + c_1 = - \operatorname{arccos}x + c_2 \mbox{ pro } -1<x<1</math>
:<math>\int \frac{1}{1 - x^2} \mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\ln{|\frac{1+x}{1-x}|} + c, & \mbox{ pro } |x|\ne 1 \\ \operatorname{argtgh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \\ \operatorname{argcotgh}x + c & \mbox{ pro } |x|>1 \end{matrix}\right. </math>

== Hyperbolické a hyperbolometrické funkce ==
:<math>\int \sinh x \, \mathrm{d}x = \cosh x + c</math>
:<math>\int \cosh x \, \mathrm{d}x = \sinh x + c</math>
:<math>\int \frac{1}{\sinh^2 x} \mathrm{d}x = - \operatorname{cotgh}x + c \mbox{ pro } x\ne 0</math>
:<math>\int \frac{1}{\cosh^2 x} \mathrm{d}x = \operatorname{tgh}x + c</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\mathrm{d}x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + c = \operatorname{argsinh}x + c</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \ln{|x + \sqrt{x^2 - 1}|} + c, & \mbox{ pro } |x|> 1 \\ \operatorname{argcosh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1  \end{matrix}\right. </math>

== Příklady výpočtu ==
* [[/Řešené příklady/]]

Tak a to je všechno. Zbytek funkcí budeme muset na tyto funkce nějakým způsobem převést...

{{Poznámka|Některé funkce, jako třeba e<sup>-x*x</sup>, sice zjevně mají integrál na celém definičním oboru, neumíme jej ale vyjádřit pomocí jiných funkcí.}}

[[Kategorie:Integrování|Základní integrály]]