Zobrazení zdroje stránky Geometrie/Numerický výpočet průniku dvou kružnic

Chceme vypočítat průsečíky C dvou kružnic, z nichž ani jedna neleží uvnitř druhé. Máme dány jejich středy [A<sub>x</sub>, A<sub>y</sub>], [B<sub>x</sub>, B<sub>y</sub>] a poloměry A<sub>r</sub> a B<sub>r</sub>.

V obecném případě jsou tyto průsečíky 2. Budeme hledat jen jeden, jménem C. Druhý je osově převrácený okolo spojnice středů a snadno se nalezne.

Spočítáme vzdálenost středů:

<math>
d=\sqrt{(A_{x}-B_{x})^2+(A_{y}-B_{y})^2}
</math>

Představíme si, že středy kružnic jsou dvěma body trojúhelníka a hledaný průsečík třetím. Potom jsou vzdálenosti d, A<sub>r</sub> a B<sub>r</sub> délkami stran.

Rozdělíme bodem S úsečku d na části m a n (takže m + n = d), abychom získali dva pravoúhlé trojúhelníky ACS a BCS. Tyto trojúhelníky mají společnou výšku v = |SC|. Potom platí:

<math>
A_{r}^2 = v^2 + m^2 
</math>

a

<math>
B_{r}^2 = v^2 + n^2, 
</math>

tudíž

<math>
A_{r}^2 - B_{r}^2 = m^2 - n^2 = (m + n)*(m - n) = d*(m - n).
</math>

Známe tedy rozdíl m a n:

<math>
(A_{r}^2 - B_{r}^2)/d = m - n = 2m - d,
</math>

pročež

<math>
m = (A_{r}^2 - B_{r}^2)/2d + d/2.
</math>

Spočítáme výšku trojúhelníka v bodě C s využitím [[w:Pythagorova věta|Pythagorovy věty]].

<math>
v = \sqrt{A_{r}^2 - m^2}
</math>

Lineárně interpolujeme vzdálenost mezi středy a získáváme souřadnice bodu S (uprostřed průsečíků!):

<math>
S_{x} = A_{x} + (m/d)(B_{x} - A_{x})</math>

a <math>
S_{y} = A_{y} + (m/d)(B_{y} - A_{y})
</math>

Závěrem (pomocí jednoduchého triku se záměnou souřadnic z X a Y) přičteme/odečteme úsečku SC o délce v, kolmou na AB:

<math>
C_{x1,2} = S_{x} \mp (v/d)(A_{y} - B_{y})</math>

a <math>
C_{y1,2} = S_{y} \pm (v/d)(A_{x} - B_{x})
</math>

A získáváme souřadnice obou bodů.

[[Kategorie:Geometrie|Numerický výpočet průniku dvou kružnic]]