Lineární algebra/Báze a dimenze

Definice: Množinu vektorů $v_1,\dots ,v_n$ prostoru $V$ nazveme linárně nezávislou pokud $0=\sum _{i=1}^n\mathrm{\backslash nolimits}{a}_i\cdot v_i$ implikuje $a_1=\dots =a_n=0$. Množinu vektorů, která není lineáně nezávislá, nazveme množinou lineárně závislou, tj. existuje index $i^{\prime }$ tak, že $a_{i^{\prime }}\ne 0$ a zároveň $0=\sum _{i=1}^n\mathrm{\backslash nolimits}{a}_i\cdot v_i$.

Definice: Báze je lineárně nezávislá množina generátorů.

Věta: Každý vektor vektorového prostoru jde vyjádřit jako lineární kombinace vektorů báze a to právě jedním způsobem.

Důkaz:

Věta: Všechny báze daného vektorového prostoru mají stejný počet prvků.

Důkaz:

Definice: Dimenze vektorového prostoru je počet prvků (libovolné) báze.