Geometrie/Bézierova křivka

Bézierova křivka, nesprávným pravopisem Beziérova křivka, je další metodou vytváření křivek. Tato metoda umožňuje interaktivní vytváření a modifikaci křivek. Pomocí této metody můžete rovněž datově reprezentovat i interpolační křivky (existují například algoritmy na převod mezi interpolačními spline kubikami a B-spline kubikami resp. Bézier kubikami).

Vyjádření

Bézierova křivka stupně n je určena rovnicí:

$P(u)=\sum _{i=0}^n{P}_i{B}_i^n(u),$

kde:

$u\in <0,1>$,

$P_i$ jsou polohové vektory vrcholů řídícího polynomu (tzv. Bézierovy body)

$B_i^n(u)$ jsou tzv. Bernsteinovy polynomy n-tého stupně,

pro které platí:

$B_i^n(u)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})u^i(1-u{)}^{n-i},i=0,1,...n$

Vlastnosti

Nezáporná hodnota

$B_i^n(u)\ge 0$ pro všechny hodnoty $i=0,...,n$ a pro všechna $u\in <0,1>$. Tato vlastnost plyne z toho, že pro $u\in <0,1>$ jsou všechny součinitele v definici Bézierových polynomů nezáporné.

Jednotkový součet

$\sum _{i=0}^n{B}_i^n(u)=1$ pro všechny hodnoty $u\in <0,1>$

Plyne přímo z binomické věty. Platí totiž:

$1=(u+(1-u){)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})u^i(1-u{)}^{n-i}=\sum _{i=0}^n{B}_i^n(u)$

Koncové podmínky

$B_o^n(0)=B_n^n(1)=1$

Maximum

$B_i^n(u)$ nabývá právě jednoho maxima na $u\in <0,1>$, a to pro $u=\frac{i}{n}$

Symetrie

Pro libovolné n je množina polynomů $B_i^n(u)$ symetrická podle $u=\frac{1}{2}$

Rekurentní vztah

$B_i^n(u)=(1-u)\cdot B_i^{n-i}(u)+u\cdot B_{i-1}^{n-i}(u)$

a:

$B_0^0(u)=1$

Rekurentní vztah vyplývá ze vztahu pro kombinační čísla:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n-1)}{i})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n-1)}{(i-1)})$

Derivace

$\frac{d{B}_i^n(u)}{du}=n(B_{i-1}^{n-i}(u)-B_i^{n-i}(u))$

Algoritmizace

Factorial(int a)

Pomocná metoda pro výpočet faktoriálu pro kombinační číslo.

Combin(int a, int b)

Pomocná metoda pro výpočet kombinačního čísla pro výpočet bodů Bernsteinova polynomu.

BernsteinPolynom(int k,int i,double t)

Metoda pro výpočet bodů polynomu.

Vector GetPoint(double t)

Přetěžovaná metoda třídy Curve. V zadaném parametru vrátí polohový vektor bodu na křivce.

RichPoint CreateRichPoint()

Přetěžovaná metoda třídy Curve. Vytvoření řídícího bodu pro křivku. Oproti rodiči má navíc rozšíření o váhový koeficient.

Externí odkazy

• Šablona:Wikipedie
• Obecné Bézierovy křivky CZ
• Living Math Bézier applet EN

Autoři

Tento text vypracovali studenti Univerzity Palackého v Olomouci katedry Matematické informatiky jako zápočtový úkol do předmětu Počítačová geometrie.