Základy matematiky/Vzdálenost bodu od přímky

V rovině (v π ₂)

Vzdálenost bodu A[x_a, y_a] od přímky p v rovině najdeme tak, že nejprve odhalíme souřadnice kolmého průmětu X bodu A na přímku p. Bod X je průsečíkem přímky p a přímky q, která prochází bodem A a je kolmá na p. Proto nejdřív musíme najít přímku q, pro kterou musí platit, že její směrový vektor je normálový vektor přímky p:
Rovnici přímky p upravíme na obecný tvar:

$ax+by+c=0$

Z této rovnice získáme normálový vektor přímky p:

$𝐧=(a;b)$

Tento normálový vektor je směrovým vektorem přímky q, proto normálový vektor přímky q je:

$𝐮=(-b;a)$

Takže obecná rovnice přímky q má následující tvar:

$-bx+ay+d=0$

Proměnnou d získáme dosazením souřadnic bodu A do rovnice:

$d=b{x}_a-a{y}_a$

Nyní už jen dořešíme soustavu dvou lineárních rovnic, ze které získáme souřadnice bodu X a tyto souřadnice dosadíme spolu se souřadnicemi bodu A do vzorečku pro vzdálenost dvou bodů v rovině:

$\left|AX\right|=\sqrt{{(x_a-x_x)}^2+{(y_a-y_x)}^2}$

Tímto postupem lze získat obecný vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky v rovině: $v=\frac{|a{x}_a+b{y}_a+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

V prostoru (v π ₃)

Postup v prostoru je analogický s tím v rovině. Pouze tentokrát nebudeme hledat průsečík přímky p a na ní kolmé přímky q, ale průsečík přímky p a roviny ρ, která je kolmá na p a leží v ní bod A. Rovnici roviny ρ získáme stejným postupem jako předtím, musíme mít pouze na paměti, že přímku v prostoru nelze určit jedinou lineární rovnicí. Vzoreček pro vzdálenost dvou bodů v prostoru je podobný jako v rovině, pouze přibude jeden výraz:

$\left|AX\right|=\sqrt{{(x_a-x_x)}^2+{(y_a-y_x)}^2+{(z_a-z_x)}^2}$