Základy matematiky/Vytýkání

Šablona:Upravit Vytýkání je úprava matematického výrazu tvaru mnohočlenu, při které se přepíše do součinového tvaru, ve kterém jedním ("vytýkaným") činitelem je jednočlen. Druhý činitel pak vznikne z původního mnohočlenu tak, že každý člen je vydělen vytýkaným jednočlenem. Obecně může mít vytýkaný výraz i složitější tvar, ale vždy součinový.

Opačnou úpravou je tzv. roznásobení výrazu ze součinového tvaru na tvar mnohočlenu.

Při obou úpravách se využívá zákon distributivity násobení vůči sčítání.

Příklady

(vytknutý činitel je naznačen znaménkem násobení)

$8a^3{b}^2{c}^2-4a{b}^{3}c+16a^2{b}^3{c}^3=4a{b}^{2}c\cdot (2a^{2}c-b+4ab{c}^2)$

$(x+y)(x-y)z-(x-y{)}^{2}z=(x-y)z\cdot (x+y-x+y)$

Vztýkání je obdoba rozkladu (složeného) čísla na součin jeho dělitelů.

Způsoby

Máme dva způsoby jak výraz zjednodušit, prvním je sečtení čísel či výrazů v závorce: Např.

$6(2+8)$

$6\cdot 10$

$60$

Druhým a častějším způsobem je roznásobení jednotlivých členů v závorce nebo vydělení společným číslem či výrazem: Ukažme si to na předešlém příkladu:

$6(2+8)$

$6\cdot 2+6\cdot 8$

$12+48$

$60$

Oba výsledky jsou tedy stejné (ale první metoda nefunguje na mnohočleny, ale jen na čísla).

Opačným případem k vytýkání je roznásobování:

Roznásobíme výraz:

$5\cdot (4+7)$

$5\cdot 4+5\cdot 7$

$20+35$

$55$

nebo

$5\cdot 11$

$55$

Nemůžeme sčítat číslo s neznámou:

$6\cdot (x+4)$

$6x+6\cdot 4$

$6x+24$

Následující případ je, když máme neznámou před závorkou:

$x\cdot (4+173)$

$4x+173x$

Dalším případem je, když máme neznámou před i v závorce, exponenty u neznámých se nám při násobení sčítají, takže si výraz:

$4x\cdot (2x+7)$

můžeme převést na:

$4x^1\cdot (2x^1+7^1)$

$8x^2+28x$

Můžeme si tedy ukázat další příklad: Např.

$2b+6b$,

před závorku vytkneme číslo 2 (výraz tedy vydělíme dvěma)

$2(b+3b)$

Můžeme vyloučit i neznámou s mocnitelem (exponentem):

Např.

$9e^2+15e^2$

Co mají tato dvě čísla či neznámé společného? obě čísla jsou násobky čísla 3 a neznámá má stejný exponent (stejného mocnitele), můžeme před závorku vyloučit:

$3e^2(3+5)$

Pomocí vytýkání můžeme zjednodušovat i zlomky:

$\frac{3x^2+7x}{x}$

jako první zjednodušíme čitatele:

$3x^2+7x$

$x(3x+7)$

Poté dosadíme $x(3x+7)$ do čitatele namísto $3x^2+7x$

$\frac{x(3x+7)}{x}$

Zkrátíme x v čiateli s x ve jmenovateli a zbude nám:

$\frac{1(3x+7)}{1}$

tedy $3x+7$ jako výsledek.

Existuje ještě případ, kdy máme třeba výraz:

$-2x^2-8x$

$-2x(x+4)$

pokud tedy máme v před oběma neznámými minus, vytýkáme jej před závorku.

Externí odkazy

Stránky k procvičení nebo zopakování:

• http://www.matematika.cz/vytykani
• http://www.e-matematika.cz/zakladni-skoly/37-rozklad-na-soucin-postupne-vytykani-priklady.php