Geometrie/Soustavy souřadnic/Sférická soustava souřadnic

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná $\phi$) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy $x$ a třetí souřadnice (označovaná $\theta$) úhel mezi průvodičem a osou $z$.

Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

$x=r\sin \theta \cos \phi$

$y=r\sin \theta \sin \phi$

$z=r\cos \theta$

Převod kartézských souřadnic na sférické:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$

$\phi =\mathrm{arctg2}(y,x),$

$\theta =\arccos \left(\frac{z}{r}\right),$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu $0\le \theta \le \pi$ a $0\le \phi <2\pi$.

Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\phi }^2,$

tedy délka křivky obecně jako

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2+r^2{\left(\frac{\mathrm{d}\theta (t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2+r^2{\sin }^2\theta {\left(\frac{\mathrm{d}\phi (t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\mathrm{d}t,$

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od $t_1$ do $t_2$.

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

$\mathrm{d}V=r^2|\sin \theta |\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ,$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

${{\mathrm{\Gamma }}^r}_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -r& 0\\ 0& 0& -r{\sin }^2\theta \end{array}\right),$

${{\mathrm{\Gamma }}^{\theta }}_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{r}& 0\\ \frac{1}{r}& 0& 0\\ 0& 0& -\cos \theta \sin \theta \end{array}\right),$

${{\mathrm{\Gamma }}^{\phi }}_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& \frac{1}{r}\\ 0& 0& \mathrm{cotg}\theta \\ \frac{1}{r}& \mathrm{cotg}\theta & 0\end{array}\right),$

kde indexy i,j probíhají přes hodnoty $(r,\theta ,\phi )$ v tomto pořadí.

Diferenciální operátory ve sférických souřadnicích

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}\widehat{𝒓}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }\hat{\mathit{\theta }}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi }\hat{\mathit{\phi }}$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(A_{\theta }\sin \theta )+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=$

$\frac{1}{r\sin \theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }(A_{\phi }\sin \theta )-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi })\widehat{𝒓}+\frac{1}{r}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \phi }-\frac{\partial }{\partial r}\left(r{A}_{\phi }\right))\hat{\mathit{\theta }}+\frac{1}{r}(\frac{\partial }{\partial r}\left(r{A}_{\theta }\right)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta })\hat{\mathit{\phi }}$

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

$\mathrm{\Delta }𝐀=$

$(\mathrm{\Delta }{A}_r-\frac{2A_r}{r^2}-\frac{2A_{\theta }\cos \theta }{r^2\sin \theta }-\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }-\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi })\widehat{𝒓}$

$+(\mathrm{\Delta }{A}_{\theta }-\frac{A_{\theta }}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{2\cos \theta }{r^2{\sin }^2\theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi })\hat{\mathit{\theta }}$

$+(\mathrm{\Delta }{A}_{\phi }-\frac{A_{\phi }}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{2}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{\partial A_r}{\partial \phi }+\frac{2\cos \theta }{r^2{\sin }^2\theta }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi })\hat{\mathit{\phi }}$