Úvod do algebry/Řešení soustavy lineárních rovnic

Soustava lineárních rovnic

Definice: Soustavou $m$ lineárních rovnic o $n$ neznámých $x_1,\dots ,x_n$ nazýváme množinu rovnic ve tvaru

$a_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1$

$\dots$

$\dots$

$\dots$

$a_{m1}{x}_1+\dots +a_{mn}{x}_m=b_m$

Čísla $a_{ij},i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n$ jsou koeficienty soustavy. Čísla $b_i,i=1,\dots ,m$ jsou pravé strany.

Ekvivalentní úpravy

Základ řešení soustav lineárních rovnic je v tom, že soustavu upravíme (nahradíme) jinou soustavou, která má stejné řešení, ale je jednodušší.

Ekvivalentními úpravami soustavy lineárních rovnic nazýváme úpravy:

1. Vzájemná výměna libovolných dvou rovnic soustavy
2. Násobení obou stran některé rovnice soustavy nenulovým (!) číslem
3. Přičtení násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici soustavy

Je zřejmé, že s pomocí ekvivalentních úprav můžeme z upravené soustavy získat opět původní soustavu:

• Předpokládejme, že soustava A´ vznikla ze soustavy A vzájemnou výměnou i-té a j-té rovnice (podle pravidla 1). Tatáž úprava na rovnici A´ vede opět k A.
• Nyní předpokládejme, že soustava A´ vznikla ze soustavy A násobením i-tého řádku nenulovým číslem $a$ (podle pravidla 2). Násobením stejného řádku soustavy A´ číslem $\frac{1}{a}$ získáme zpět soustavu A.
• Konečně, pokud soustava A´ vznikla ze soustavy A přičtením $a$-násobku i-té rovnice k j-té rovnici (je zřejmé, že $i\ne j$), potom přičtení $(-a)$-násobku i-té rovnice soustavy A´ k j-té rovnici soustavy A´ vede zpět k A.

Dvě soustavy lineárních rovnic jsou ekvivalentní soustavy, pokud jednu z nich (je jedno jakou) lze získat z druhé ekvivalentními úpravami.

Věta: Jsou-li dvě soustavy rovnic ekvivalentní, potom mají stejné řešení.