Úvod do algebry/Polynomy

Co je to polynom?

Polynom neboli mnohočlen je výraz sestávající jen ze součtů (rozdílů), násobků a celočíselných mocnin proměnných. Obecný polynom může vypadat třeba takto:

$P(x,y,z)=2x^{2}y{z}^3-3.1y^2+5yz-2$

V dalším textu se ale budeme zabývat jen polynomy jedné proměnné x, které můžeme zapsat v obecném tvaru:

$P(x)=A_0{x}^n+A_1{x}^{n-1}+...+A_{n-1}{x}^1+A_n$

Nebo profesionálněji:

$P(x)=\sum _{i=0}^n{A}_i{x}^{n-i}$

Konstanty A₀ až A_n jsou koeficienty a může se jednat o libovolná reálná nebo komplexní čísla.

Stupeň polynomu

Nejvyšší exponent s nenulovou hodnotou v polynomu určuje jeho stupeň. V uvedeném příkladu má polynom stupeň n.

Polynom P(x)=0 se nazývá nulový polynom a jeho stupeň položíme roven -1.

Polynom stupně 0 je (nenulová) konstanta. Graf polynomu stupně 1 je přímka, polynomu stupně 2 parabola apod.

• 
  Graf polynomu 2.
• 
  3.
• 
  4.
• 
  a 5. stupně

Kořeny polynomu

Kořen polynomu P je takové číslo x, pro které má P(x) hodnotu 0.

Polynom prvního stupně má vždy 1 kořen, neboť vždy lze snadno nalézt takové x, pro které platí:

$A_{0}x+A_1=0$

Jak známo, polynom druhého stupně (kvadratická funkce) má dvě, jedno nebo žádné řešení v oboru reálných čísel. To odpovídá buď dvěma reálným, jednomu reálnému dvojnásobnému nebo dvěma komplexním kořenům (komplexně sdruženým).

Polynom stupně n má nejméně 1 a nejvýše n různých kořenů.

Pozn: Pokud má polynom

• všechny koeficienty reálné a
• některé kořeny komplexní,

jsou všechny komplexní kořeny komplexně sdružené se svým protějškem. (Tzn. mají vzájemně shodnou reálnou, ale opačnou imaginární hodnotu.) Pokud má polynom obecně komplexní koeficienty(y), jsou jeho kořeny v obecném případě komplexní a nejsou komplexně sdružené.

Bezoutova věta

Předpokládejme, že P(x) je libovolný polynom stupně vyššího než 1; dále, že y je libovolné číslo. Pak lze najít polynom Q

$P(x)=(x-y).Q(x)+P(y)$

Polynom Q(x) má stupeň o 1 nižší než P(x).

Rozklad polynomu na kořenové činitele

Nenulové polynomy reálnými koeficienty lze vyjádřit také jako součin kořenových činitelů, a to ve tvaru

$P(x)=(x-k_1{)}^{s_1}.(x-k_2{)}^{s_2}.....(x-k_{n-1}{)}^{s_{n-1}}.k_n$

kde $k_1$ až $k_n$ jsou jednotlivé kořeny a $s_1$ až $s_{n-1}$ jejich příslušné násobnosti.

Podobná operace se dá provést i u polynomů s komplexními koeficienty.

Převedení součinu kořenových činitelů na standardní tvar polynomu je maličkost, stačí je roznásobit. Opačný převod je výrazně těžší:

• U polynomu nulového nebo s nulovým stupněm nemá smysl se o kořenovém činiteli bavit.
• Polynom stupně 1 už de facto v tomto tvaru je.
• Pro polynom 2. stupně použijeme známou rovnici

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
a
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

a nenecháme se odradit odmocňováním záporných čísel.

• Rozklad polynomů vyšších stupňů už je v obecném případě dosti náročný až (od 5. stupně) analyticky nemožný.