Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty

Při výpočtu reálných určitých integrálů bývá často výhodné je převést na komplexní integrály po uzavřených křivkách a spočíst pomocí reziduové věty. Existuje několik standardních postupů, které tento článek shrnuje.

Integrály <0;∞) funkce bez singularit na nezáporné reálné ose

Integrály ve tvaru

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)x^a\mathrm{d}x=(*),$

kde funkce f(x) nemá singularity na intervalu $<0;\mathrm{\infty })$. Tento integrál převedeme na integrál funkce komplexní proměnné

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle \int_{\gamma} f(z) z^a\,\mathrm{d}z=\int_{\gamma} f(z) e^{a \left(\operatorname{ln}|z\right|+i \operatorname{Arg\ }z\right)}\,\mathrm{d}z =I=I_1+I_2+I_3+I_4,}

Za integrační cestu zvolíme křivku podle obrázku. Jednotlivé úseky integrační cesty označíme v souladu s obrázkem jako integrály I₁, I₂, I₃, I₄, kde integrál I₁ se shoduje s integrálem (*). Funkce Arg z je zvolena tak, že podél celého I₁ je Arg z = 0. Aby funkce byla podél celé integrační cesty holomorfní, je nespojitost charakteristická pro funkce z^a zvolena podél reálné osy. Podél integrálu I₃ je tedy Arg z = 2 π a, a proto

$I_3=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f(z)e^{a\ln \left|z\right|+2i\pi a}\mathrm{d}z=-I_1{e}^{2i\pi a}.$

Za předpokladu $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }R\max |f(z)z^a|=0,$ tedy pokud f(z) z^a jde s rostoucím R k nule nejméně rychleji než 1/R, integrál I₂ vymizí. Obdobně za předpokladu $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\epsilon \max |f(z)z^a|=0,$ tedy že f(z) z^a jde s $\epsilon$ jdoucím k nule k nekonečnu alespoň pomaleji než $1/\epsilon$, vymizí integrál I₄. V souladu s předpokladem, že f(z) nemá v nule singularitu dostáváme podmínku $a>-1$.

Potom podle reziduové věty je

$I=I_1+I_2+I_3+I_4=I_1+I_3=I_1(1-e^{2i\pi a})=2\pi i\sum \mathrm{Res}f(x),$

tedy integrál

$I_1=2\pi i\frac{\sum \mathrm{Res}f(x)}{(1-e^{2i\pi a})},$

což ovšem platí jen není-li a celé (potom by byl jmenovatel nulový a výraz nemá smysl). Pro celé a je potřeba vyšetřit, zda je možné prohození limity a integrálu - je-li tomu tak, výsledkem je limita tohoto výsledku.

Integrály (-∞;∞) funkcí bez singularit na reálné ose

Integrály ve tvaru

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=I_1,$

kde funkce f(x) nemá singularity na intervalu $(-\mathrm{\infty };\mathrm{\infty })$. Zapíšeme jako integrál funkce komplexní proměnné

$\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z,$

kde γ je funkce na obrázku a I₁ = (*). Lze-li aplikovat Jordanovo lemma, tedy za podmínky

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }R\max |f(z)|=0,$

kde maximum se počítá podél kružnice podle níž probíhá integrál I₂, platí I₂ = 0, tedy hodnota integrálu (*)=I₁ je dána jako

$I=I_1+I_2=I_1=2\pi i\sum _{\mathrm{Im}(z)>0}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}f(z)$

Mnohdy se s výhodou dá použít fakt, že pro horní půlkružnici skoro všude platí

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }R\max \left|e^{iz}\right|=0,$ a že

$\underset{I_2}{\int }\frac{e^{iz}}{R^{\alpha }}=0\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\alpha >0.$

Stačí tedy, aby funkce přenásobená exponenciálou ve tvaru výše klesala podél celé horní půlkružnice v absolutní hodnotě k nule, není již potřeba, aby klesala alespoň rychleji než $1/R$.

Integrály <0;2π> racionálních výrazů z goniometrických funkcí

Je-li integrál daný ve tvaru

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{R}(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=I,$

kde R je racionální výraz funkcí sinus a kosinus, můžeme jej považovat za komplexní integrál po libovolné křivce délky 2 π. Nechť tato křivka je jednotková kladně orientovaná kružnice (viz obrázek). Převedeme jej na integrál komplexní proměnné podle identit

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$

$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},$

s parametrizací

$z=e^{ix},$

$\mathrm{d}z=i{e}^{ix}\mathrm{d}x.$

Proto (po dosazení za dx a x) integrujeme

$\underset{\gamma }{\int }\frac{1}{iz}\mathrm{R}(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2})\mathrm{d}z=I.$

Pokud funkce uvnitř integrálu nemá na jednotkové kružnici singularity, spočteme jej jednoduše pomocí reziduové věty jako

$I=2\pi i\sum _{\mathrm{abs}(z)<1}\mathrm{Res}\left(\frac{1}{iz}\mathrm{R}(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2})\right).$

Integrály (-∞;∞) se singularitami na imaginární ose

$I_1=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(z)\mathrm{d}z$

Po integrační cestě (na obrázku) integrujeme funkce, které mají na imaginární ose singularity v libovolné vzdálenosti, a nelze tedy použít Jordanovo lemma. Pro použití následující integrační cesty je potřeba, aby integrály I₂, I₄ ve velké vzdálenosti vymizely a aby se dal integrál I₃ napsat jednoduchou závislostí na integrálu I₁ (což zpravidla znamená, že f(z) je nějak symetrická vůči posunu podél imaginární osy). Z výsledného výrazu a reziduové věty dopočítáme hodnotu integrálu I₁.

Vzorce pro výpočet reziduí

Přeloženo z anglické Wikipedie

Má-li holomorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

$\begin{array}{c}\\ \mathrm{Res}\\ {}^{z=c}\end{array}f=\underset{z\to c}{\lim }(z-c)f(z),$

nebo přímo použitím reziduové věty

$\begin{array}{c}\\ \mathrm{Res}\\ {}^{z=c}\end{array}f=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }f(z)dz$

kde kladně orientovaná křivka γ je kružnice kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

$\begin{array}{c}\\ \mathrm{Res}\\ {}^{z=c}\end{array}f=\frac{g(c)}{h^{\prime }(c)}.$

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c a pól řádu n vyjádřeno jako:

$\begin{array}{c}\\ \mathrm{Res}\\ {}^{z=c}\end{array}f=\frac{1}{(n-1)!}\cdot \underset{z\to c}{\lim }{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}^{n-1}(f(z)\cdot (z-c{)}^n).$

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]_z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Externí odkazy

• Studijní text k přednáškám Doc. RNDr. Mirka Rokyty, CSc.