Úvod do algebry/Vektory

Vektor je uspořádaná n-tice čísel.

O jaký druh čísel jde, určuje číselná množina, nad kterou je definován.

Nejčastěji užíváme dvoj- či trojrozměrné vektory definované nad množinou reálných čísel.

Základní operace a axiomy

U všech vektorů definujeme dvě základní operace, a to:

1. sčítání dvou vektorů
2. násobení vektoru číslem

Výsledek obou operací je opět vektorem.

Souhrn všech vektorů nad daným tělesem s oběma těmito operacemi nazýváme vektorový prostor.

Sčítání vektorů je komutativní...

Pro takto zavedené sčítání a násobení musí platit následující axiomy:

1. Sčítání je komutativní: $𝐚+𝐛=𝐛+𝐚$
2. Sčítání je asociativní: $𝐚+(𝐛+𝐜)=(𝐚+𝐛)+𝐜$
3. Existuje nulový vektor $𝐨$: $𝐚+𝐨=𝐚$
4. Ke každému vektoru existuje opačný vektor: $𝐚+(-𝐚)=𝐨$
5. Násobení jedničkou vektor nezmění: $1\cdot 𝐛=𝐛$
6. Násobení vektoru dvěma čísly je asociativní: $b\cdot (c\cdot 𝐚)=c\cdot (b\cdot 𝐚)$
7. Násobení vektoru součtem čísel je distributivní: $(a+b)\cdot 𝐜=(a\cdot 𝐜)+(b\cdot 𝐜)$
8. Násobení součtu vektorů číslem je také distributivní: $a\cdot (𝐛+𝐜)=(a\cdot 𝐛)+(a\cdot 𝐜)$