Zobrazení zdroje stránky Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty

Při výpočtu [[w:Reálné číslo|reálných]] [[w:určitý integrál|určitých]] [[w:integrál|integrálů]] bývá často výhodné je převést na [[w:křivkový integrál|komplexní integrály]] po uzavřených [[w:křivka|křivkách]] a spočíst pomocí [[w:reziduová věta|reziduové věty]]. Existuje několik standardních postupů, které tento článek shrnuje.

== Integrály <0;∞) funkce bez singularit na nezáporné reálné ose ==
[[Soubor:Komplexni-cesta-1.png|vpravo|náhled|220px]]
[[w:Integrál|Integrály]] ve tvaru

:<math>\int_{0}^{\infty} f(x) x^a\,\mathrm{d}x=(*),</math>

kde funkce ''f''(''x'') nemá singularity na intervalu <math><0;\infty)</math>. Tento [[w:integrál|integrál]] převedeme na [[w:integrál|integrál]] [[w:funkce|funkce]] komplexní proměnné

:<math>\int_{\gamma} f(z) z^a\,\mathrm{d}z=\int_{\gamma} f(z) e^{a \left(\operatorname{ln}|z\right|+i \operatorname{Arg\ }z\right)}\,\mathrm{d}z
=I=I_1+I_2+I_3+I_4,</math>

Za integrační cestu zvolíme [[w:křivka|křivku]] podle obrázku. Jednotlivé úseky integrační cesty označíme v souladu s obrázkem jako integrály ''I''<sub>1</sub>, ''I''<sub>2</sub>, ''I''<sub>3</sub>, ''I''<sub>4</sub>, kde integrál ''I''<sub>1</sub> se shoduje s integrálem (*). Funkce Arg ''z'' je zvolena tak, že podél celého ''I''<sub>1</sub> je Arg ''z'' = 0. Aby funkce byla podél celé integrační cesty [[w:holomorfní funkce|holomorfní]], je nespojitost charakteristická pro funkce ''z''<sup>a</sup> zvolena podél reálné osy. Podél integrálu ''I''<sub>3</sub> je tedy Arg ''z'' = 2 ''π'' ''a'', a proto

:<math>I_3 = \int_{-\infty}^{0} f(z) e^{a \operatorname{ln}\left|z\right|+2 i \pi a}\, \mathrm{d}z=-I_1 e^{2 i \pi a}.</math>

Za předpokladu <math>\lim_{R\rarr\infty}R \max\ \left|f(z) z^a\right|=0,</math> tedy pokud ''f''(''z'') ''z''<sup>''a''</sup> jde s rostoucím ''R'' k nule nejméně rychleji než 1/''R'', integrál ''I''<sub>2</sub> vymizí. Obdobně za předpokladu <math>\lim_{\varepsilon\rarr0}\varepsilon \max\ \left| f(z) z^a\right|=0,</math> tedy že ''f''(''z'') ''z''<sup>''a''</sup> jde s <math>\varepsilon</math> jdoucím k nule k nekonečnu alespoň pomaleji než <math>1/\varepsilon</math>, vymizí integrál ''I''<sub>4</sub>. V souladu s předpokladem, že ''f''(''z'') nemá v nule [[w:singularita (komplexní analýza)|singularitu]] dostáváme podmínku <math>a > -1</math>.

Potom podle [[w:reziduová věta|reziduové věty]] je

:<math>I=I_1+I_2+I_3+I_4=I_1+I_3=I_1\left(1-e^{2 i \pi a}\right)=2\pi i\sum\operatorname{Res}f(x),</math>

tedy integrál

:<math>I_1=2\pi i\frac{\sum\operatorname{Res}f(x)}{\left(1-e^{2 i \pi a}\right)},</math>

což ovšem platí jen není-li ''a'' [[w:celé číslo|celé]] (potom by byl jmenovatel nulový a výraz nemá smysl). Pro celé ''a'' je potřeba vyšetřit, zda je možné [[w:Integrál#Záměna limity a integrálu|prohození limity a integrálu]] - je-li tomu tak, výsledkem je limita tohoto výsledku.

== Integrály (-∞;∞) funkcí bez singularit na reálné ose ==
[[Soubor:Komplexni-cesta-2.png|vpravo|náhled|220px]]
[[w:Integrál|Integrály]] ve tvaru

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x=I_1,</math>

kde funkce ''f''(''x'') nemá singularity na intervalu <math>(-\infty;\infty)</math>. Zapíšeme jako integrál funkce komplexní proměnné

:<math>\int_{\gamma} f(z)\,\mathrm{d}z,</math>

kde γ je funkce na obrázku a ''I''<sub>1</sub> = (*). Lze-li aplikovat [[w:Jordanovo lemma|Jordanovo lemma]], tedy za podmínky

:<math>\lim_{R\rarr\infty}{R \max\left|f(z)\right|} = 0,</math>

kde maximum se počítá podél kružnice podle níž probíhá integrál ''I''<sub>2</sub>, platí ''I''<sub>2</sub> = 0, tedy hodnota integrálu (*)=''I''<sub>1</sub> je dána jako

:<math>I=I_1+I_2=I_1=2 \pi i\sum_{\operatorname{Im}(z)>0}\operatorname{Res\ }f(z)</math>

Mnohdy se s výhodou dá použít fakt, že pro horní půlkružnici skoro všude platí
:<math>\lim_{R\rarr\infty}{R \max\left|e^{i z}\right|} = 0,</math> a že
:<math>\int_{I_2}{\frac{e^{i z}}{R^\alpha}} = 0 \ \mathrm{ pro }\ \alpha>0.</math>
Stačí tedy, aby funkce přenásobená exponenciálou ve tvaru výše klesala podél celé horní půlkružnice v absolutní hodnotě k nule, není již potřeba, aby klesala alespoň rychleji než <math>1/R</math>.

== Integrály <0;2π> racionálních výrazů z goniometrických funkcí ==
[[Soubor:Komplexni-cesta-3.png|vpravo|náhled|220px]]
Je-li integrál daný ve tvaru

:<math>\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{R}\left(\sin x,\cos x\right)\,\mathrm{d}x=I,</math>

kde ''R'' je [[w:racionální výraz|racionální výraz]] funkcí [[w:sinus|sinus]] a [[w:kosinus|kosinus]], můžeme jej považovat za komplexní integrál po libovolné křivce délky 2 π. Nechť tato křivka je jednotková kladně orientovaná kružnice (viz obrázek). Převedeme jej na integrál komplexní proměnné podle identit

:<math>\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},</math>

:<math>\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},</math>

s parametrizací

:<math>z = e^{i x},\,</math>

:<math>\mathrm{d}z = i e^{i x} \mathrm{d}x.\,</math>

Proto (po dosazení za d''x'' a ''x'') integrujeme

:<math>\int_{\gamma} \frac{1}{i z}
\mathrm{R}\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)\,\mathrm{d}z=I.</math>

Pokud funkce uvnitř [[w:integrál|integrálu]] nemá na [[w:jednotková kružnice|jednotkové kružnici]] singularity, spočteme jej jednoduše pomocí [[w:reziduová věta|reziduové věty]] jako

:<math>I= 2 \pi i \sum_{\operatorname{abs} (z)<1}\operatorname{Res}
\left(
\frac{1}{i z}\,
\mathrm{R}\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)
\right).</math>

== Integrály (-∞;∞) se singularitami na imaginární ose ==
[[Soubor:Komplexni-cesta-4.png|vpravo|náhled|220px]]

:<math>I_1=\int_{-\infty}^{\infty}f(z)\,\mathrm{d}z</math>

Po integrační cestě (na obrázku) integrujeme [[w:funkce|funkce]], které mají na imaginární ose [[w:singularita (komplexní analýza)|singularity]] v libovolné vzdálenosti, a nelze tedy použít [[w:Jordanovo lemma|Jordanovo lemma]]. Pro použití následující integrační cesty je potřeba, aby integrály ''I''<sub>2</sub>, ''I''<sub>4</sub> ve velké vzdálenosti vymizely a aby se dal integrál ''I''<sub>3</sub> napsat jednoduchou závislostí na integrálu ''I''<sub>1</sub> (což zpravidla znamená, že ''f''(''z'') je nějak symetrická vůči posunu podél imaginární osy). Z výsledného výrazu a [[w:reziduová věta|reziduové věty]] dopočítáme hodnotu integrálu ''I''<sub>1</sub>.

== Vzorce pro výpočet reziduí ==
''Přeloženo z anglické Wikipedie''

Má-li [[w:holomorfní funkce|holomorfní funkce]] ''f'' definovaná alespoň na okolí ''D'' = {''z'': 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě ''c'' [[w:pól (komplexní analýza)|pól]] prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

:<math>\begin{matrix} \\ \operatorname{Res} \\ { }^{z=c} \end{matrix}\ f=\lim_{z\to c}(z-c)f(z),</math>

nebo přímo použitím reziduové věty

:<math>\begin{matrix} \\ \operatorname{Res} \\ { }^{z=c} \end{matrix}\ f =  
{1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz</math>

kde kladně [[w:orientovaná křivka|orientovaná]] [[w:křivka|křivka]] γ je kružnice kolem ''c'' o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce ''f''(''z'')=''g''(''z'')/''h''(''z'') mající v ''c'' pól prvního řádu, kde ''g'' a ''h'' jsou holomorfní funkce v okolí ''c'' a zároveň ''h(c)'' = 0, ''g(c)'' ≠ 0, je dáno jako
:<math>\begin{matrix} \\ \operatorname{Res} \\ { }^{z=c} \end{matrix}\ f = \frac{g(c)}{h'(c)}.</math>
 
Obecněji je reziduum funkce ''f'' v bodě ''z'' = ''c'' mající v ''c'' a [[w:pól (komplexní analýza)|pól]] řádu ''n'' vyjádřeno jako:

:<math> \begin{matrix} \\ \operatorname{Res} \\ { }^{z=c} \end{matrix}\ f = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right). </math>

Může-li být ''f'' [[w:holomorfní rozšíření|holomorfně rozšířena]] na celý disk { ''z'' : |''z'' − ''c''| < ''R'' }, potom Res[''f'']<sub>''z''=''c''</sub> = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

== Externí odkazy ==
* [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/general/tahaky/racgeom.ps Studijní text] k přednáškám Doc. RNDr. Mirka Rokyty, CSc.

[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Matematické kuchařky]]