Zobrazení zdroje stránky Geometrie/Soustavy souřadnic/Sférická soustava souřadnic

'''Sférická soustava souřadnic''' ('''kulová soustava souřadnic''') je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná <math>r</math>) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná <math>\varphi</math>) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy <math>x</math> a třetí souřadnice (označovaná <math>\theta</math>) úhel mezi průvodičem a osou <math>z</math>.

Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve '''sférických souřadnicích''' podstatně jednodušší tvar.

[[Soubor:Spherical with grid.svg|náhled|vpravo|350px|Bod ve sférické soustavě souřadnic.]]

Transformace '''sférických souřadnic''' na kartézské:<br />
:<math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math><br />
:<math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math><br />
:<math>z = r \cos{\theta}\,</math><br />

Převod kartézských souřadnic na '''sférické''':<br />
:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math><br />
:<math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math><br />
:<math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math><br />

kde arctg2(''x'',''y'') je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu <math>0\leq\theta\leq\pi</math> a <math>0\leq\varphi<2\pi</math>.

== Metrické vlastnosti ==
Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

:<math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2,</math>

tedy délka křivky obecně jako

:<math>\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2
            +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2
            +r^2 \sin^2\theta\ \left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,</math>

kde ''t'' je parametr dané křivky a ''s'' je její délka od <math>t_1</math> do <math>t_2</math>.

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

:<math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math>

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

:<math>{\Gamma^r}_{ij}=\begin{pmatrix}
    0 & 0 & 0 \\
    0 & -r & 0 \\
    0 & 0 & -r \sin^2\theta \\
\end{pmatrix},
    </math>

:<math>{\Gamma^\theta}_{ij}=\begin{pmatrix}
    0 & \frac{1}{r} & 0 \\
    \frac{1}{r} & 0 & 0 \\
    0 & 0 &  -\cos\theta \sin\theta \\
\end{pmatrix},
    </math>

:<math>{\Gamma^\varphi}_{ij}=\begin{pmatrix}
    0 & 0 & \frac{1}{r} \\
    0 & 0 & \operatorname{cotg}\theta \\
    \frac{1}{r} & \operatorname{cotg}\theta & 0 \\
\end{pmatrix},
    </math>

kde indexy ''i'',''j'' probíhají přes hodnoty <math>(r,\theta,\varphi)</math> v tomto pořadí.

== Diferenciální operátory ve sférických souřadnicích ==
:<math>\nabla f = 
{\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} 
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}</math>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{A} =
{1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(  A_\theta\sin\theta \right)  
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{A} = </math>
::<math>
  {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)
    - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r}  + 
  {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi} 
    - {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta}  + 
  {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
    - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi}</math>

:<math>\Delta f = \nabla^2 f = 
{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}</math>

:<math>\Delta \mathbf{A} = </math>
::<math>
  \left(\Delta A_r - {2 A_r \over r^2} 
    - {2 A_\theta\cos\theta \over r^2\sin\theta}  
    - {2 \over r^2}{\partial A_\theta \over \partial \theta}  
    - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r}  
</math>
::<math>
+\left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta} 
    + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta} 
    - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\theta}  
</math>
::<math>
+ \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r^2\sin^2\theta}
    + {2 \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}
    + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} 
</math>

[[Kategorie:Geometrie|{{#titleparts:{{PAGENAME}}||2}}]]