Zobrazení zdroje stránky Geometrie/Frenetův trojhran

== Vektor tečny ==
Nechť je křivka <math>k</math> třídy <math>C^{n}</math> v prostoru <math>E_{3}</math> dána vektorovou rovnicí s parametrem typu oblouk

<math>f=f(s), s\in J</math>.

Potom jednotkový vektor

<math>t(s)=f~'(s), s\in J</math>,

budeme nazývat '''vektorem tečny křivky''' <math>k</math> v bodě <math>F(s)</math>. Tento vektor mění svou orientaci při přechodu k jinému oblouku, který mění orientaci křivky.

== Vektor hlavní normály ==
Jednotkový vektor

<math>n(s)= \frac{f~''(s)}{\| f~''(s) \|}, s\in J</math>,

budeme nazývat '''vektorem hlavní normály''' křivky <math>k</math> v bodě <math>F(s)</math>. Vektor hlavní normály je nezávislý na volbě oblouku.

== Vektor binormály ==
Jednotkový vektor daný vektorovým součinem vektoru tečny a vektoru hlavní normály, tedy

<math>b(s)=t(s)\times n(s), s\in J</math>,

budeme nazývat '''vektorem binormály''' křivky <math>k</math> v bodě <math>F(s)</math>. Tento vektor je kolmý na vektor tečny a vektor hlavní normály. Je patrné, že vektor binormály bude měnit svou orientaci při přechodu k oblouku, který mění orientaci křivky.

== Frenetův trojhran ==
Uspořádanou trojici vektorů, kterou tvoří vektor tečny, vektor hlavní normály a vektor binormály, tedy

<math>(t(s),n(s),b(s)), s\in J</math>,

budeme nazývat '''Frenetovým trojhranem''' křivky v bodě <math>F(s)</math>.

[[Soubor:frenetuvTrojhran.jpg]]

== Algoritmus ==
Tečný vektor je roven první derivaci křivky v bodě
 public static Vector3d Tecna(Curve krivka, double u)
 {
   return krivka.FirstDeriv(u).UnitVector(); //UnitVector - převede vektor na jednotkový
 }

Vektor hlavní normály je kolmý na tečný vektor a leží v oskulační rovině
 public static Vector3d HlavniNormala(Curve krivka, double u)
 {
   return krivka.SecondDeriv(u).Ortogonal(krivka.FirstDeriv(u)).UnitVector();
   //a.Ortogonal(b) - ortogonalizuje vektor a podle vektoru b
 }

Vektor binormály je roven vektorovému součinu tečného vektoru a vektoru hlavní normály
 public static Vector3d Binormala (Curve krivka, double u)
 {
   Vector3d t=Tecna(krivka,u);
   Vector3d n=HlavniNormala(krivka,u);
   return t.CrossProduct(n); //vektorový součin
 }

[[Kategorie:Geometrie|Frenetův trojhran]]