Zobrazení zdroje stránky Geometrie/Afinní transformace souřadnic

[[Geometrie|Geometrické]] transformace jsou jedněmi z nejčastěji používaných operací v počítačové grafice. Mezi afinní operace patří posunutí, otáčení, změna měřítka, zkosení a operace vzniklé jejich skládáním.

== Vyjádření ==
''Afinní transformace'' jsou vyjádřeny vztahem ''P' '' = ''P'' '''A''', kde ''P'' je bodem, který transformujeme maticí '''A'''. Platí ''P' '' = [x' y' w'] = ''P'' '''A''' = [x y w] '''A'''. Matice '''A''' reprezentuje jednotlivé transformace, které mohou být i skládány.

Geometrické afinní transformace souřadnic nám umožňují bod ''P'' posunout, otočit nebo změnit jeho měřítko (týká se objektů, z těchto bodů složených).

Podrobnější rozepsání těchto transformací a jejich skládání viz níže.

== Afinní geometrické transformace souřadnic ==

=== Posunutí ===
Transformace posunutí nebo také translace ''(move, translation)'' bodu ''P[X, Y]'' je určena vektorem posunutí

<math>
p=(X_T, Y_T)=(X' - X, Y' - Y)
</math>

Aplikací této transformace na bod ''P'' získáme bod ''P' '' o souřadnicích

<math>
X'=X+X_T
</math><br />
<math>
Y'=Y+Y_T
</math>

Maticové vyjádření transformace posunutí má pro homogenní souřadnice tvar

<math>
A_T=
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ X_T & Y_T & 1 \end{bmatrix}
</math>

[[Soubor:Move02.svg|rám|střed|Obr.1: Posunutí - Červená křivka je výsledkem posunutí původní modré křivky o vektor ''a''<sup>→</sup>.]]

=== Otáčení ===
Otáčením ''(rotation)'' bodu ''P'' kolem počátku soustavy souřadnic O=[0,0] o orientovaný úhel α získáme bod ''P' '' o souřadnicích

<math>
X'=Xcos\alpha -Ysin\alpha
</math><br />
<math>
Y'=Xsin\alpha +Ycos \alpha
</math>

Maticové vyjádření transformace otáčení má pro homogenní souřadnice tvar

<math>
A_R=
\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>

[[Soubor:Rotate (1).svg|rám|střed|Obr.2: Otočení - Červená křivka je výsledkem otočení původní modré křivky o 180<sup>0</sup>.]]

=== Změna měřítka ===
Změna měřítka ''(scale, zoom)'' je změnou velikosti objektu ve směru souřadnicových os. Pokud je absolutní hodnota koeficientu měřítkování v intervalu (0, 1), dochází ke zmenšení transformovaného objektu.
Je-li absolutní hodnota koeficientu větší než jedna, dojde k prodloužení, je-li znaménko záporné, dochází k prodloužení či zmenšení v opačném směru.

Rovnice pro změnu měřítka bodu ''P'' mají tvar

<math>
X'=S_xX
</math><br />
<math>
Y'=S_yY
</math>

kde S<sub>x</sub> je koeficient změny měřítka ve směru souřadnicové osy ''x'' a S<sub>y</sub> je koeficient změny měřítka ve směru souřadnicové osy ''y''.

Odpovídající transformační matice má pro homogenní souřadnice tvar

<math>
A_{S}=
\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0\\ 0 & S_y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>

[[Image:Scale.svg|rám|střed|Obr.3: Změna měřítka - Červená křivka je výsledkem zvětšení původní modré křivky, zelená pak jejím zmenšením.<br />
Červená křivka: Scale X = Scale Y = 1,2<br />
Zelená křivka: Scale X = Scale Y = 0,45]]

=== Skládání transformací ===
Při postupném aplikování transformací na bod ''P'' záleží na pořadí, v jakém se transformace provádějí.
Je rozdíl, jestliže bod posuneme a poté otočíme okolo počátku souřadnicového systému, nebo zda bod nejprve otočíme a poté provedeme transformaci posunutí.
Transformaci vzniklou složením z více transformací lze vyjádřit jedinou maticí, kterou získáme postupným násobením matic, reprezentujících dílčí transformace.
Protože záleží na pořadí transformací, záleží i na pořadí násobení matic. Jelikož používáme zápis ''P'=P'''A''' '', musíme matice reprezentující jednotlivé transformace násobit zprava.

Platí, že pokud násobíme transformační matici, maticí k ní inverzní, dostaneme původní (netransformované) souřadnice. Jinak řečeno inverzní transformace je reprezentována inverzní maticí.

''Příklad''

Odvození transformační matice pro otáčení o úhel α okolo bodu R[x<sub>R</sub>
,y<sub>R</sub>]

Operaci provedeme následujícím způsobem: bod ''R'' nejprve přemístíme pomocí matice '''A'''<sub>M</sub> do počátku souřadnicového systému, poté provedeme otočení o úhel α pomocí matice '''A'''<sub>R</sub> a nakonec bod přemístíme zpět do původní polohy inverzní matice '''A'''<sup>-1</sup><sub>M</sub>. Vše provedeme tak, že vytvoříme matici, která vznikne složením matic vyjadřujících všechny tři operace. Výsledná matice je součin
<math>
A=A_MA_RA_M^{-1}
</math>
.

''(Pozn. Výše uvedené vztahy a vzorce jsou vztaženy ke 2D. Jejich 3D verze jsou podobné a z nich lehce odvoditelné.)''

== Autoři ==
Tento text vypracovali studenti [http://www.inf.upol.cz Univerzity Palackého v Olomouci] katedry Matematické informatiky jako zápočtový úkol do předmětu Počítačová geometrie.

[[Kategorie:Geometrie|Afinní transformace souřadnic]]