Zobrazení zdroje stránky Úvod do algebry/Rozklad polynomů na parciální zlomky

Řekněme, že máme tzv. racionální funkci, která má obecně tvar

:<math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math>,

kde P i Q jsou polynomy a P má nižší stupeň než Q. (V případě, že P má vyšší stupeň, lze tyto polynomy vydělit se zbytkem.)

Pak lze tyto polynomy vyjádřit jako součet zlomků, jejichž jmenovateli jsou jednotlivé kořenové činitele polynomu Q. To je velmi výhodné např. pro integrování (protože to umíme).

== Rozklad polynomu s reálnými kořeny ==
Předpokládejme, že Q má jen reálné kořeny a můžeme jej výhodně zapsat jako '''součin kořenových činitelů''':

:<math>Q(x) = (x - a_{1})^{k_{1}} . (x - a_{2})^{k_{2}} . \cdots . (x - a_{n})^{k_{n}}</math>,

kde a<sub>1</sub> až a<sub>n</sub> jsou jednotlivé kořeny polynomu a k<sub>1</sub> až k<sub>n</sub> jsou jejich příslušné násobnosti.

Pak lze ''vždy'' vyjádřit výraz

:<math>\frac{1}{Q(x)} = \frac{1}{(x - a_{1})^{k_{1}} . (x - a_{2})^{k_{2}} . \cdots . (x - a_{n})^{k_{n}}}</math>,

jako '''součet parciálních zlomků''':

:<math>Q(x) = f_{1} + f_{2} + \cdots + f_{n}</math>,

kde f<sub>1</sub> až f<sub>n</sub> odpovídají součtu zlomků, které mají kořenový činitel ve jmenovateli (pokud má vyšší násobnost, tak ve všech stupních od 1 do násobnosti k<sub>n</sub>):

:<math>f_{1} = \frac{A_{1}}{(x - a_{1})^{k_{1}}} + \frac{B_{1}}{(x - a_{1})^{k_{1}-1}} + \cdots + \frac{Z_{1}}{(x - a_{1})^{1}}</math>
:<math>f_{2} = \frac{A_{2}}{(x - a_{2})^{k_{2}}} + \frac{B_{2}}{(x - a_{2})^{k_{2}-1}} + \cdots + \frac{Z_{2}}{(x - a_{2})^{1}}</math> atd. pro každý kořen do a<sub>n</sub>

Pro složitější polynomy těchto parciálních zlomků může vzniknout hodně, dají se ale docela snadno vypátrat použitím matic.

[[Kategorie:Algebra|Rozklad polynomů na parciální zlomky]]